Use os critérios vistos em sala para determinar se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty n e^-n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a série é convergente ou divergente. Vamos trabalhar com o conteúdo de séries infinitas e usar um critério que nos ajude a decidir isso. Para isso, vamos precisar entender o comportamento dos termos da série e aplicar um teste de convergência adequado.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão sumn=1^infty ne^n para facilitar nossa análise. Sabemos que , então a série fica:
Agora temos a série na forma .

Passo 3

Para determinar a convergência dessa série, vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos permite comparar a série em questão com outra série conhecida que seja convergente ou divergente.
Sabemos que a série geométrica é convergente porque , e assim a razão .

Passo 4

Vamos comparar os termos das duas séries:
  • Termo da nossa série:
  • Termo da série geométrica:
Observamos que para , mas isso não nos dá diretamente uma comparação clara. Então, vamos ajustar nossa abordagem e usar o Teste da Razão, que é mais adequado para séries que envolvem fatores exponenciais e polinomiais como essa.

Passo 5

O Teste da Razão consiste em calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se an = ne^n , a série converge; se an+1an = (n+1)/e^n+1n/e^n = n+1n cdot 1e = (1 + 1n) cdot 1e , diverge; se L = limn to infty (1 + 1n) cdot 1e = 1 cdot 1e = 1e , o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série:
Calculando :
Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:

Passo 6

Sabemos que , então , que é menor que 1.
Como , pelo Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série é convergente.

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