Use decomposição em frações parciais para calcular:
\int \frac{x+1}{x^{4}-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x+1}{x^{4}-x^{2}}\,dx
usando decomposição em frações parciais. O conteúdo é integração de função racional: precisamos fatorar o denominador, decompor em frações simples e então integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
x^{4}-x^{2}=x^{2}(x^{2}-1)=x^{2}(x-1)(x+1).
Logo
\frac{x+1}{x^{4}-x^{2}} =\frac{x+1}{x^{2}(x-1)(x+1)} =\frac{1}{x^{2}(x-1)}.

Passo 3

Agora decompondo
\frac{1}{x^{2}(x-1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x-1},
multiplicamos por x^{2}(x-1) e obtemos a identidade
1=A\,x(x-1)+B\,(x-1)+C\,x^{2}.
Expandindo,
1=(A+C)x^{2}+(-A+B)x- B.
Igualando coeficientes:
A+C=0,\quad -A+B=0,\quad -B=1.
Dessa forma B=-1, -A-1=0 A=-1 e C=1.

Passo 4

Substituindo os valores na decomposição:
\frac{1}{x^{2}(x-1)} =-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x-1}.
Integramos termo a termo:
\int\frac{x+1}{x^{4}-x^{2}}\,dx =\int\Bigl(-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x-1}\Bigr)\,dx =-\ln|x|+\frac{1}{x}+\ln\lvert x-1\rvert +C.

Resposta

\int \frac{x+1}{x^{4}-x^{2}}\,dx =-\ln|x|+\ln\lvert x-1\rvert+\frac{1}{x}+C.

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