Use a definição de limite para provar que: lim x 1^+ 1x-1=+infty

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa provar, usando a definição de limite, que quando se aproxima de 1 pela direita ( ), a expressão tende para mais infinito ( ). Isso está relacionado ao conteúdo de limites no cálculo, especificamente ao limite tendendo ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição de limite que envolve infinito. Dizemos que:
limx to a^+ f(x) = +infty
significa que, para todo número grande , existe um intervalo próximo a (nesse caso, 1) tal que, se está dentro desse intervalo e maior que , então é maior que .
No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição ao nosso problema. Queremos mostrar que para qualquer de, podemos encontrar um tal que, se , então .
Para fazer isso, vamos escolher de uma forma que facilite nossa demonstração. Vamos definir:
Isso significa que quanto maior for , menor será , garantindo que estamos muito próximos de 1.

Passo 4

Com essa escolha de 1x - 1 > 1de, vamos verificar se a condição é satisfeita quando .
Se , então:
Ou seja, sempre que estiver suficientemente próximo de 1 pela direita (mas diferente de 1), será maior que qualquer número que escolhemos.

Resposta

Portanto, usando a definição de limite, mostramos que:
limx 1^+ 1x-1 = +infty

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