Use a definição (3) da Seção 19 para demonstrar diretamente que
\frac{d w}{d z}=2 z \quad \text { se } \quad w=z^{2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de derivada de função complexa (definição (3) da Seção 19), que se w = z^2 então
\frac{dw}{dz} = 2z.
Aqui o conteúdo é derivação de funções complexas pelo limite do quociente incremental:
f'(z)=\lim_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}.

Passo 2

Aplicamos a definição diretamente a f(z)=z^2. O quociente incremental é
\frac{f(z+h)-f(z)}{h} =\frac{(z+h)^2 - z^2}{h}.

Passo 3

Expandimos o numerador para simplificar:
(z+h)^2 - z^2 = z^2 + 2zh + h^2 - z^2 = 2zh + h^2.

Passo 4

Dividimos pelo incremento h:
\frac{(z+h)^2 - z^2}{h} =\frac{2zh + h^2}{h} =2z + h.

Passo 5

Tomamos o limite quando h\to0:
\lim_{h\to0}(2z + h) = 2z.
Logo, pela definição,
\frac{dw}{dz}=2z.

Resposta

\frac{dw}{dz}=2z.

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