Use o teorema da Seção 23 para mostrar que f^{\prime}(z) e sua derivada f^{\prime \prime}(z) existem em toda parte e encontre f^{\prime \prime}(z) se
f(z)=\cos x \operatorname{cosh} y-i \sin x \operatorname{sinh} y.

Passo 1

O enunciado define a função
f(z)=\cos x\operatorname{cosh} y \;-\; i\,\sin x\,\operatorname{sinh} y,
onde z=x+iy. Queremos usar o Teorema da Seção 23 (equações de Cauchy–Riemann) para mostrar que f é diferenciável em toda parte, portanto f'(z) existe e é holomorfa, e em seguida calcular f''(z).

Passo 2

Escrevemos
u(x,y)=\cos x\operatorname{cosh} y, \quad v(x,y)=-\sin x\,\operatorname{sinh} y.
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
u_x=-\sin x\operatorname{cosh} y, \quad u_y=\cos x\operatorname{sinh} y,
v_x=-\cos x\operatorname{sinh} y, \quad v_y=-\sin x\operatorname{cosh} y.

Passo 3

Verificamos as equações de Cauchy–Riemann:
u_x = -\sin x\operatorname{cosh} y, \quad v_y = -\sin x\operatorname{cosh} y \quad\Longrightarrow\quad u_x = v_y,
u_y = \cos x\operatorname{sinh} y, \quad -v_x = \cos x\operatorname{sinh} y \quad\Longrightarrow\quad u_y = -\,v_x.
Como u_x,u_y,v_x,v_y são contínuas e satisfazem
\,u_x=v_y e u_y=-v_x, o Teorema da Seção 23 garante que f é holomorfa em todo \mathbb{C} e f'(z) existe em toda parte.

Passo 4

Usamos a fórmula
f'(z)=u_x + i\,v_x
para obter
f'(z) = -\sin x\operatorname{cosh} y \;+\; i\bigl(-\cos x\operatorname{sinh} y\bigr) = -\bigl(\sin x\operatorname{cosh} y + i\,\cos x\operatorname{sinh} y\bigr).
Reconhecemos o parêntese como \sin(x+iy)=\sin z, logo
f'(z) = -\sin z.

Passo 5

Como -\sin z é inteira, sua derivada existe em todo lugar. Assim,
f''(z)=\frac{d}{dz}\bigl(-\sin z\bigr) = -\cos z.
Em termos de x e y,
f''(z) =-\bigl(\cos x\operatorname{cosh} y - i\,\sin x\operatorname{sinh} y\bigr).

Resposta

f''(z) = -\cos z = -\bigl(\cos x\operatorname{cosh} y - i\,\sin x\operatorname{sinh} y\bigr).

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