Use o teorema da Seção 23 para mostrar que
e sua derivada
existem em toda parte e encontre
se
.
Passo 1
O enunciado define a função
onde
. Queremos usar o Teorema da Seção 23 (equações de Cauchy–Riemann) para mostrar que
é diferenciável em toda parte, portanto
existe e é holomorfa, e em seguida calcular
.
Passo 2
Escrevemos
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
Passo 3
Verificamos as equações de Cauchy–Riemann:
Como
são contínuas e satisfazem
e
, o Teorema da Seção 23 garante que
é holomorfa em todo
e
existe em toda parte.
Passo 4
Usamos a fórmula
para obter
Reconhecemos o parêntese como
, logo
Passo 5
Como
é inteira, sua derivada existe em todo lugar. Assim,
Em termos de
e
,