Use derivação implicita para obter dy/dx.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação usando derivação implícita. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com funções que envolvem tanto
quanto
, e queremos encontrar a derivada
. Para isso, vamos precisar aplicar a regra da derivação implícita, que nos ajuda a derivar equações onde
está misturado com
.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a derivação:
Agora, nosso objetivo é derivar ambos os lados dessa equação em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar cada termo separadamente. Lembre-se que
é uma função de
, então ao derivar termos que envolvem
, precisamos usar a regra da cadeia.
Derivando o primeiro termo:
Derivando o segundo termo
:
Primeiro, aplique a derivada da constante multiplicada:
Primeiro, aplique a derivada da constante multiplicada:
Agora, derivamos
usando a regra da cadeia:
Então, a derivada do segundo termo fica:
Derivando o terceiro termo
:
Passo 4
Agora, juntando todas as derivadas:
Simplificando:
Passo 5
Vamos distribuir o termo
:
Agora, vamos agrupar os termos que contêm
:
Fatorando
do lado esquerdo:
Passo 6
Para encontrar
, vamos isolar essa derivada:
Resposta
A derivada
é: