Use a Equação de análise da transformada de Fourier para calcular as transformadas de Fourier de:
e^-2|t-1|

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier
X(omega)=integral-infty^inftye^-2|t-1|,e^-jomega t,dt.
Para isso vamos usar:
  1. A transformada de g(t)=e^-2|t|.
  2. A propriedade de deslocamento temporal, que diz que se x(t)=g(t-t0) então
X(omega)=e^-jomega t0G(omega)

Passo 2

Calcular
G(omega)=integral-infty^inftye^-2|t|e^-jomega t,dt
Separamos em duas integrais e usamos que e^-2|t| é par:
G(omega) =integral-infty^0e^2te^-jomega tdt +integral0^inftye^-2te^-jomega tdt =integral0^inftye^-2t(e^-jomega t+e^jomega t)dt =2integral0^inftye^-2tcos(omega t),dt
E sabemos que
integral0^inftye^-atcos(omega t),dt=aa^2+omega^2(a>0),
logo, para a=2,
G(omega)=2cdot24+omega^2=44+omega^2

Passo 3

Como e^-2|t-1|=g(t-1) com t0=1, aplica-se o deslocamento:
X(omega)=e^-jomegacdot1,G(omega) =e^-jomega,44+omega^2

Resposta

X(omega)=4,e^-jomega4+omega^2

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