(4.8-Oppenheim) Considere o sinal
x(t)=cc 0, & t<-12 t+12, & -12 <= t <= 12 1, & t>12
(a) Use as propriedades de diferenciação e integração e o par transformado de Fourier do pulso retangular para encontrar uma expressão fechada para X(j omega).
(b) Qual é a transformada de Fourier de g(t)=x(t)-12 ?

Passo 1

O enunciado define o sinal
x(t)= 0, & t<-tfrac12, t+tfrac12, & -tfrac12<= t<=tfrac12, 1, & t>tfrac12,
e pede a transformada de Fourier X(jomega) usando propriedades de diferenciação/integração e o par já conhecido do pulso retangular. Depois, em (b), queremos a TF de g(t)=x(t)-tfrac12. Para isso vamos usar:
  1. A derivada de x(t) é um pulso retangular de amplitude 1 e duração 1.
  2. A transformada de
    rect(t)x<=ftrightarrowF2sin(omega/2)omega
  3. Propriedade de integração:
integral-infty^t f(tau),dtau x<=ftrightarrowF F(omega)jomega+pi,F(0),de<a(omega)

Passo 2

Note que
x'(t)=ddtx(t) = 0,&|t|>tfrac12, 1,&|t|<tfrac12,
ou seja x'(t)=rect(t). Logo, da TF do pulso retangular,
X'(jomega);=;Fx'(t) ;=;2sin(omega/2)omega

Passo 3

Como x(t) pode ser escrito como
x(t)=integral-infty^t x'(tau),dtau,
aplicamos a propriedade de integração e obtemos
X(jomega) =X'(jomega)jomega ;+;pi,X'(j0),de<a(omega)
Aqui X'(j0)=integral-1/2^1/21,dtau=1. Substituindo X'(jomega):
X(jomega) =1jomega,2sin(omega/2)omega +picdot1cdotde<a(omega) =2sin(omega/2)j,omega^2 ;+;pi,de<a(omega)

Passo 4

Essa é a forma fechada para a TF de x(t). Em notação final:
boxed X(jomega) =2sin(omega/2)j,omega^2 ;+;pi,de<a(omega)

Passo 5

Para g(t)=x(t)-tfrac12, subtrair uma constante de valor tfrac12 corresponde a subtrair tfrac12 vezes 2pide<a(omega) na TF, mas como usamos definição sem fator 2pi no expoente, vale
F1/2=pi,de<a(omega).
Portanto
G(jomega) = X(jomega)-pi,de<a(omega) =2sin(omega/2)j,omega^2

Resposta

(a) X(jomega) =2sin(omega/2)j,omega^2+pi,de<a(omega)
(b) G(jomega) =2sin(omega/2)j,omega^2

Exercícios relacionados