(a) Use a equação do potencial para uma distribuição linear para mostrar que o potencial elétrico em um ponto do eixo central de um anel fino de carga e raio a uma distância do centro do anel é dado por:
(b) A partir desse resultado, escreva uma expressão para o valor do campo E em pontos do eixo do anel
Resposta:
E=k0 q z(R^2+z^2)^3 / 2 k
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta fala sobre encontrar o potencial elétrico e o campo elétrico para um anel de carga. A gente vai precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente a equação do potencial para uma distribuição linear de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício, que pede para mostrarmos que o potencial elétrico V = k0 qraizR^2 + z^2 em um ponto no eixo central de um anel fino de carga e raio , a uma distância do centro do anel, é dado por:
Passo 3
Para encontrar o potencial elétrico devido a uma distribuição de carga, usamos a equação:
V = k0 integral dqr
Aqui, é a constante eletrostática, é um elemento de carga, e é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde estamos calculando o potencial.
Passo 4
No caso de um anel de carga, a distância r = raizR^2 + z^2 entre qualquer ponto do anel e o ponto no eixo central é dada pela fórmula do teorema de Pitágoras:
Isso porque é o raio do anel e é a distância ao longo do eixo.
Passo 5
Como o anel é simétrico, todo elemento de carga V = k0 1raizR^2 + z^2 integral dq está à mesma distância do ponto considerado. Isso simplifica a integral, já que é constante em todo o anel. Assim, podemos escrever:
Passo 6
A integral V = k0 qraizR^2 + z^2 é simplesmente a carga total no anel, que é . Portanto, temos:
Isso confirma a expressão que queríamos demonstrar para o potencial elétrico.
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b), que pede para encontrar o campo elétrico E = -dVdz no eixo do anel a partir do potencial que acabamos de encontrar. Sabemos que o campo elétrico é relacionado ao potencial pela relação:
Passo 8
Vamos derivar V = k0 qraizR^2 + z^2 em relação a dVdz = -k0 q cdot z(R^2 + z^2)^3/2 :
A derivada de em relação a é:
Passo 9
Então, o campo elétrico E = -dVdz = k0 q z(R^2 + z^2)^3/2 k é:
Resposta
O campo elétrico nos pontos do eixo do anel é dado por: