Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
1+1raiz2+1raiz3+ldots+1raizn <= 2 raizn ; forall n >= 1.

Passo 1

Vamos provar que a soma é menor ou igual a para todo usando indução matemática. Precisamos entender o que é indução e como aplicá-la para demonstrar essa desigualdade.

Passo 2

Base da Indução: Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para .
Quando , a soma é só .
E .
Como , a base da indução está ok.

Passo 3

Hipótese de Indução: Agora, vamos supor que a afirmação vale para algum número 1 + 1raiz2 + 1raiz3 + ldots + 1raizk <= 2 raizk , ou seja,

Passo 4

Passo Indutivo: Precisamos mostrar que, se a hipótese é verdadeira para 1 + 1raiz2 + 1raiz3 + ldots + 1raizk + 1raizk+1 <= 2 raizk+1 , então ela também vale para . Queremos provar que:

Passo 5

Vamos partir da hipótese de indução:
1 + 1raiz2 + ldots + 1raizk <= 2 raizk
Agora, somamos 1 + 1raiz2 + ldots + 1raizk + 1raizk+1 <= 2 raizk + 1raizk+1 aos dois lados:

Passo 6

Precisamos mostrar que:
2 raizk + 1raizk+1 <= 2 raizk+1
Vamos rearranjar a desigualdade:
2 raizk+1 - 2 raizk >= 1raizk+1
Sabemos que 2 (raizk+1 - raizk) = 2raizk+1 + raizk >= 1raizk+1 . Então:
2 >= 1
Multiplicando ambos os lados por (que é positivo):
Isso é verdadeiro, então a desigualdade original também é verdadeira.

Resposta

Portanto, por indução matemática, para todo 1 + 1raiz2 + 1raiz3 + ldots + 1raizn <= 2 raizn :

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