Use integral dupla para encontrar a área da região limitada pelo círculo x^{2}+y^{2}=4 e a reta y=1.

Passo 1

O enunciado pede a área da região comum ao disco
x^{2}+y^{2}\le4
e à semirreta acima da reta
y=1
ou seja, a “tampa” do círculo por cima da linha y=1. Vamos usar integral dupla em coordenadas cartesianas para calcular essa área.

Passo 2

Para descrever a região em cartesianas, note que a reta y=1 corta o círculo em
x^{2}+1^{2}=4\quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{3}.
Assim, para cada x em [-\sqrt{3},\sqrt{3}], y varia de 1 até a semicircunferência superior
y=\sqrt{4-x^{2}}.

Passo 3

O área A é dada por
A=\iint_{\text{região}}dA =\int_{x=-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\int_{y=1}^{\sqrt{4-x^{2}}}dy\,dx =\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\bigl(\sqrt{4-x^{2}}-1\bigr)\,dx.ã

Passo 4

Para calcular
\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\sqrt{4-x^{2}}\,dx
lembre que
\int\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx =\frac{1}{2}\Bigl(x\sqrt{a^{2}-x^{2}}+a^{2}\arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr)\Bigr).
Aqui a=2. Avaliando de -\sqrt{3} a \sqrt{3} resulta
\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\sqrt{4-x^{2}}\,dx =\sqrt{3}+\frac{4\pi}{3}.
Subtraindo
\displaystyle\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}1\,dx=2\sqrt{3}
vem
A=\Bigl(\sqrt{3}+\tfrac{4\pi}{3}\Bigr)-2\sqrt{3} =\frac{4\pi}{3}-\sqrt{3}.

Resposta

A=\frac{4\pi}{3}-\sqrt{3}.

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