Use a integral de Fourier para encontrar uma solução particular para a equação
na forma
, onde
e
são constantes e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a integral de Fourier. A equação que temos é:
Aqui,
e
são constantes, e
é uma função definida por:
Vamos precisar usar conceitos de transformada de Fourier e integrais para encontrar uma solução particular para
na forma:
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a transformada de Fourier nos ajuda a transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais simples. Para isso, aplicamos a transformada de Fourier em ambos os lados da equação.
A transformada de Fourier de uma função
é definida por:
Mas como estamos trabalhando com funções reais e cossenos e senos, vamos usar a forma real da transformada.
Passo 3
Aplicando a transformada de Fourier na equação diferencial:
Sabemos que a transformada de Fourier da derivada de ordem
de
é
, onde
é a transformada de
. No nosso caso,
:
Portanto, a equação transformada fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
:
Passo 5
A próxima etapa é encontrar a transformada de Fourier de
. Dado que:
Isso é conhecido como uma função retangular ou “caixa”. A transformada de Fourier de uma função retangular centrada na origem é:
Portanto:
Passo 6
Substituindo
na expressão de
:
Passo 7
Agora, para encontrar
, aplicamos a transformada inversa de Fourier em
:
Substituindo
:
Passo 8
Como estamos buscando uma solução real, podemos simplificar a expressão utilizando funções cosseno e seno:
Observando que a função é par, podemos simplificar para:
Passo 9
Finalmente, reconhecemos que a integral resultante expressa a solução particular na forma desejada:
Onde os coeficientes
e
são determinados pelos termos da integral que obtivemos.
Resposta
A solução particular da equação diferencial dada, utilizando a integral de Fourier, é: