Use a integral de Fourier para encontrar uma solução particular para a equação
alpha d^4 yd x^4+k y=-p(x)
na forma y(x)=integral-infty^infty A cos (omega x)+B sen(omega x) d omega, onde alpha e k são constantes e
p(x)= beta, & se x^2<1 0, & se x^2>1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a integral de Fourier. A equação que temos é:
alpha d^4 yd x^4 + k y = -p(x)
Aqui, alpha e k são constantes, e p(x) é uma função definida por:
p(x)= beta, & se x^2<1 0, & se x^2>1
Vamos precisar usar conceitos de transformada de Fourier e integrais para encontrar uma solução particular para y(x) na forma:
y(x) = integral-infty^infty [A cos(omega x) + B sin(omega x)] , domega

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a transformada de Fourier nos ajuda a transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais simples. Para isso, aplicamos a transformada de Fourier em ambos os lados da equação.
A transformada de Fourier de uma função f(x) é definida por:
Ff(x) = integral-infty^infty f(x) e^-i omega x , dx
Mas como estamos trabalhando com funções reais e cossenos e senos, vamos usar a forma real da transformada.

Passo 3

Aplicando a transformada de Fourier na equação diferencial:
alpha Fd^4 yd x^4 + k Fy = -Fp(x)
Sabemos que a transformada de Fourier da derivada de ordem n de y(x) é (i omega)^n Y(omega), onde Y(omega) é a transformada de y(x). No nosso caso, n=4:
Fd^4 yd x^4 = (i omega)^4 Y(omega) = omega^4 Y(omega)
Portanto, a equação transformada fica:
alpha omega^4 Y(omega) + k Y(omega) = -P(omega)

Passo 4

Agora, vamos resolver para Y(omega):
Y(omega) (alpha omega^4 + k) = -P(omega)
Y(omega) = -P(omega)alpha omega^4 + k

Passo 5

A próxima etapa é encontrar a transformada de Fourier de p(x). Dado que:
p(x)= beta, & se |x| < 1 0, & se |x| > 1
Isso é conhecido como uma função retangular ou “caixa”. A transformada de Fourier de uma função retangular centrada na origem é:
Fp(x) = 2beta sin(omega)omega
Portanto:
P(omega) = 2beta sin(omega)omega

Passo 6

Substituindo P(omega) na expressão de Y(omega):
Y(omega) = -2beta sin(omega)omegaalpha omega^4 + k

Passo 7

Agora, para encontrar y(x), aplicamos a transformada inversa de Fourier em Y(omega):
y(x) = F^-1Y(omega) = integral-infty^infty Y(omega) e^i omega x , domega
Substituindo Y(omega):
y(x) = integral-infty^infty -2beta sin(omega)/omegaalpha omega^4 + k e^i omega x , domega

Passo 8

Como estamos buscando uma solução real, podemos simplificar a expressão utilizando funções cosseno e seno:
y(x) = integral-infty^infty -2beta sin(omega)/omegaalpha omega^4 + k cos(omega x) , domega
Observando que a função é par, podemos simplificar para:
y(x) = -4beta integral0^infty sin(omega)omega (alpha omega^4 + k) cos(omega x) , domega

Passo 9

Finalmente, reconhecemos que a integral resultante expressa a solução particular na forma desejada:
y(x) = integral-infty^infty [ A cos(omega x) + B sin(omega x) ] domega
Onde os coeficientes A e B são determinados pelos termos da integral que obtivemos.

Resposta

A solução particular da equação diferencial dada, utilizando a integral de Fourier, é:
y(x) = -4beta integral0^infty sin(omega)omega (alpha omega^4 + k) cos(omega x) , domega

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