Use integral de Fourier para encontrar uma solução particular para a equação y'' + a y' + b y = f(x), onde
f(x) = { 0, -∞ < x <= -1; 1+x, -1 < x <= 0; 1-x, 0 < x <= 1; 0, 1 < x < ∞ }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a equação diferencial usando a integral de Fourier. O que isso significa? Basicamente, vamos transformar a equação no domínio da frequência para facilitar a resolução. A função é uma função por partes, então precisamos entender como ela se comporta. Vamos precisar conhecer um pouco sobre transformadas de Fourier e como aplicá-las em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Fourier em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de Fourier de uma derivada tem uma propriedade especial. Para a segunda derivada, temos:
E para a primeira derivada:
E a transformada de Fourier de é simplesmente . Portanto, aplicando a transformada na equação original:

Passo 3

Agora, vamos organizar os termos que contêm :
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Passo 4

Precisamos agora encontrar , que é a transformada de Fourier da função . Como é uma função por partes, vamos calcular a transformada em cada intervalo onde tem uma expressão diferente.
Para , :
Sabemos que:
E:
Para , :
E para os outros intervalos, , então .

Passo 5

Juntando tudo, a transformada de Fourier completa é a soma das transformadas nos intervalos onde é diferente de zero:

Passo 6

Agora que temos , vamos substituir na expressão de :
Como a delta de Dirac “seleciona” o valor em , substituímos na expressão do denominador:

Passo 7

Agora, precisamos encontrar aplicando a transformada inversa de Fourier em :
Sabemos que:
Portanto:

Resposta

A solução particular da equação dada é .

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