Use a integral de linha \Delta V=-\int \vec{E} \cdot d \vec{r} para encontrar o potencial de um fio infinito carregado. Por que não podemos usar o infinito como referência zero neste caso?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Encontrar o potencial elétrico associado a um fio infinito carregado, usando a relação \Delta V = -\int \vec{E}\cdot d\vec{r}.
  • Explicar por que não podemos escolher o infinito como referência de potencial zero nesse caso.
Informações relevantes fornecidas / que aparecem naturalmente no problema:
  • O fio é infinito e tem densidade linear de carga \lambda (carga por unidade de comprimento).
  • A relação que liga diferença de potencial ao campo elétrico é \Delta V = -\int \vec{E}\cdot d\vec{r}.
  • Precisaremos das constantes físicas usuais: a permissividade do vácuo \epsilon_0.
  • Porque o fio é infinito, a solução terá simetria cilíndrica (o campo depende só da distância radial r ao fio).

Passo 2

Encontrar a expressão do campo elétrico \vec{E} ao redor do fio (passo necessário para fazer a integral). Pelo princípio da simetria cilíndrica, o campo é radial (direção \hat{r}) e depende apenas de r: \vec{E}(r)=E(r)\,\hat{r}.
Aplicando a Lei de Gauss para um cilindro coaxial de raio r e comprimento L que envolve o fio: a carga envolvida é Q_{\text{enc}}=\lambda L. O fluxo elétrico através da superfície lateral do cilindro é \Phi = E(r)\cdot(2\pi r L) (as tampas não contribuem porque \vec{E} é radial). A Lei de Gauss dá
\Phi = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}
ou seja
E(r)\,2\pi r L = \frac{\lambda L}{\epsilon_0}.
Cancelando L e isolando E(r),
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0\,r}.
Aqui: \lambda é a densidade linear de carga, \epsilon_0 é a permissividade do vácuo, e r é a distância radial ao eixo do fio.

Passo 3

Escolher um caminho de integração adequado para calcular a diferença de potencial entre dois pontos radiais. Como \vec{E} é radial e depende só de r, é natural escolher um caminho radial entre dois raios r_0 (referência) e r. Num deslocamento radial d\vec{r}=dr\,\hat{r} temos \vec{E}\cdot d\vec{r}=E(r)\,dr.
A diferença de potencial entre os pontos em r_0 e r é
V(r)-V(r_0) = -\int_{r_0}^{r} \vec{E}\cdot d\vec{r} = -\int_{r_0}^{r} E(r')\,dr'.
Substituindo E(r')=\dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r'},
V(r)-V(r_0) = -\int_{r_0}^{r} \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r'}\,dr'.

Passo 4

Calcular a integral. A primitiva de 1/r' é \ln r', portanto
V(r)-V(r_0) = -\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\int_{r_0}^{r}\frac{1}{r'}\,dr' = -\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\bigl[\ln r'\bigr]_{r_0}^{r}.
Isto produz
V(r)-V(r_0) = -\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\bigl(\ln r - \ln r_0\bigr) = -\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln\!\left(\frac{r}{r_0}\right).
Rearranjando, uma forma usual é
V(r) = V(r_0) - \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln\!\left(\frac{r}{r_0}\right) = V(r_0) + \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln\!\left(\frac{r_0}{r}\right).
Se fixarmos a referência escolhendo V(r_0)=0 para algum r_0=a, obtemos a forma prática
V(r) = -\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln\!\left(\frac{r}{a}\right) = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln\!\left(\frac{a}{r}\right).
Explicação das variáveis nesta fórmula: r é o ponto onde se quer o potencial, a é o raio onde foi escolhido V(a)=0, \lambda e \epsilon_0 já definidos.

Passo 5

Por que não podemos usar o infinito como referência zero? Tentar pôr r_0\to\infty e definir V(\infty)=0 levaria a
V(r)-0 = -\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln\!\left(\frac{r}{\infty}\right).
Mas \ln\!\left(\frac{r}{\infty}\right)=\ln r - \ln\infty = -\infty, portanto V(r) diverge (vai para +\infty ou -\infty dependendo do sinal de \lambda e da forma escrita). Em outras palavras, a integral usada para referenciar o potencial ao infinito não converge: o potencial relativo ao infinito é infinito.
Física/intuição: um fio infinito carrega carga infinita, então não faz sentido físico que o potencial tenda a zero “naturalmente” quando r\to\infty; o potencial cresce (logaritmicamente) sem limite ao tentar comparar com o infinito. Por outro lado, diferenças de potencial entre dois pontos a distâncias finitas r_1 e r_2 são finitas e bem definidas pela expressão obtida acima. Por isso escolhe-se uma referência finita r_0 (por exemplo r_0=a com V(a)=0).

Resposta

\displaystyle V(r)=V(r_0)-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln\!\left(\frac{r}{r_0}\right) (escolhendo V(r_0)=0 em r_0=a \displaystyle V(r)= -\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln\!\left(\frac{r}{a}\right)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln\!\left(\frac{a}{r}\right)).
Não se pode usar V(\infty)=0 porque \ln(r/\infty) diverge: a diferença de potencial até o infinito não converge, logo o potencial relativo ao infinito seria infinito.