Use a integral de linha
para encontrar o potencial de um fio infinito carregado. Por que não podemos usar o infinito como referência zero neste caso?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Encontrar o potencial elétrico associado a um fio infinito carregado, usando a relação
. - Explicar por que não podemos escolher o infinito como referência de potencial zero nesse caso.
Informações relevantes fornecidas / que aparecem naturalmente no problema:
- O fio é infinito e tem densidade linear de carga
(carga por unidade de comprimento). - A relação que liga diferença de potencial ao campo elétrico é
. - Precisaremos das constantes físicas usuais: a permissividade do vácuo
. - Porque o fio é infinito, a solução terá simetria cilíndrica (o campo depende só da distância radial
ao fio).
Passo 2
Encontrar a expressão do campo elétrico
ao redor do fio (passo necessário para fazer a integral). Pelo princípio da simetria cilíndrica, o campo é radial (direção
) e depende apenas de
:
.
Aplicando a Lei de Gauss para um cilindro coaxial de raio
e comprimento
que envolve o fio: a carga envolvida é
. O fluxo elétrico através da superfície lateral do cilindro é
(as tampas não contribuem porque
é radial). A Lei de Gauss dá
ou seja
Cancelando
e isolando
,
Aqui:
é a densidade linear de carga,
é a permissividade do vácuo, e
é a distância radial ao eixo do fio.
Passo 3
Escolher um caminho de integração adequado para calcular a diferença de potencial entre dois pontos radiais. Como
é radial e depende só de
, é natural escolher um caminho radial entre dois raios
(referência) e
. Num deslocamento radial
temos
.
A diferença de potencial entre os pontos em
e
é
Substituindo
,
Passo 4
Calcular a integral. A primitiva de
é
, portanto
Isto produz
Rearranjando, uma forma usual é
Se fixarmos a referência escolhendo
para algum
, obtemos a forma prática
Explicação das variáveis nesta fórmula:
é o ponto onde se quer o potencial,
é o raio onde foi escolhido
,
e
já definidos.
Passo 5
Por que não podemos usar o infinito como referência zero? Tentar pôr
e definir
levaria a
Mas
, portanto
diverge (vai para
ou
dependendo do sinal de
e da forma escrita). Em outras palavras, a integral usada para referenciar o potencial ao infinito não converge: o potencial relativo ao infinito é infinito.
Física/intuição: um fio infinito carrega carga infinita, então não faz sentido físico que o potencial tenda a zero “naturalmente” quando
; o potencial cresce (logaritmicamente) sem limite ao tentar comparar com o infinito. Por outro lado, diferenças de potencial entre dois pontos a distâncias finitas
e
são finitas e bem definidas pela expressão obtida acima. Por isso escolhe-se uma referência finita
(por exemplo
com
).
Resposta
Não se pode usar