Use o método da casca para calcular o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo
da região entre
e
. (Faça o esboço).
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo
a região limitada pelas curvas
e
. Vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é indicado quando o eixo de rotação é vertical e tomamos fatias verticais em
. Como pedido, primeiro esboce no plano cartesiano a reta passando pela origem com inclinação 1 e a parábola que também passa pela origem, abrindo para cima, e observe que elas se intersectam em
e
.
Passo 2
Para determinar os limites de integração, achamos as interseções das curvas resolvendo
que dá
logo
e
. No intervalo
a reta
está acima da parábola
.
Passo 3
Em
fixo a casca cilíndrica tem raio
e altura igual à diferença entre as funções de cima e de baixo:
A espessura é
.
Passo 4
Pelo método das cascas, o volume é
Passo 5
Calculando a integral,
Logo
Resposta
O volume do sólido é
.