Use o método da casca para calcular o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região entre y=x e y=x^{2}. (Faça o esboço).

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo y a região limitada pelas curvas y=x e y=x^2. Vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é indicado quando o eixo de rotação é vertical e tomamos fatias verticais em x. Como pedido, primeiro esboce no plano cartesiano a reta passando pela origem com inclinação 1 e a parábola que também passa pela origem, abrindo para cima, e observe que elas se intersectam em x=0 e x=1.

Passo 2

Para determinar os limites de integração, achamos as interseções das curvas resolvendo
x^2 = x
que dá
x(x-1)=0
logo x=0 e x=1. No intervalo [0,1] a reta y=x está acima da parábola y=x^2.

Passo 3

Em x fixo a casca cilíndrica tem raio r=x e altura igual à diferença entre as funções de cima e de baixo:
\text{altura} = x - x^2.
A espessura é dx.

Passo 4

Pelo método das cascas, o volume é
V = \int_{x=0}^{1} 2\pi \,(\text{raio})\,(\text{altura})\,dx = 2\pi \int_{0}^{1} x\,(x - x^2)\,dx = 2\pi \int_{0}^{1} \bigl(x^2 - x^3\bigr)\,dx.

Passo 5

Calculando a integral,
\int_{0}^{1} (x^2 - x^3)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}.
Logo
V = 2\pi \cdot \frac{1}{12} = \frac{\pi}{6}.

Resposta

O volume do sólido é \displaystyle \frac{\pi}{6}.

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