Use o Método de Euler Melhorado para aproximar a solução de cada PVI a seguir.
y^{\prime}=y / t-(y / t)^{2}, 1 \leq t \leq 2, y(1)=1 com h=0.1

Passo 1

O enunciado pede aproximar a solução do problema de valor inicial (PVI)
y'=\frac{y}{t}-\Big(\frac{y}{t}\Big)^{2},\qquad 1\le t\le2,\qquad y(1)=1
usando o Método de Euler Melhorado (passo h=0{,}1).
Dados importantes que temos:
\begin{aligned} &\text{Função derivada: }\; f(t,y)=\frac{y}{t}-\Big(\frac{y}{t}\Big)^2,\\\ &\text{Intervalo: }\; t\in[1,2],\\\ &\text{Cond. inicial: }\; y(1)=1,\\\ &\text{Passo: }\; h=0{,}1\;\Rightarrow\; N=\frac{2-1}{0{,}1}=10\; \text{(10 passos)}. \end{aligned}çã
Vamos produzir aproximações \;y_0,y_1,\dots,y_{10}\; nos pontos \;t_n=1+0{,}1n\; para n=0,\dots,10.

Passo 2

Breve explicação do Método de Euler Melhorado (também chamado de Heun / método do trapézio explícito):
  • Em cada passo n conhecemos \;t_n e \;y_n.
  • Primeiro fazemos uma previsão (preditor) com Euler explícito:
y_{n+1}^{(p)}=y_n+h\,f(t_n,y_n).
  • Depois avaliamos a inclinação no ponto previsto (t_{n+1},y_{n+1}^{(p)}) e usamos a média das inclinações (trapézio) para corrigir:
y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}\big(f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1}^{(p)})\big).
Explicando as variáveis:
  • t_n é o n-ésimo nó do eixo t;
  • y_n é a aproximação da solução em t_n;
  • f(t,y) é a derivada dada na EDO;
  • h é o tamanho do passo (aqui 0{,}1).

Passo 3

Reescrevendo a função f de forma conveniente: se definimos
u=\frac{y}{t},
então
f(t,y)=u-u^{2}=u(1-u).
Isso ajuda para calcular mais rápido: primeiro calcule u=y/t, depois f=u(1-u).

Passo 4

Dados iniciais: \;t_0=1{,}0,\;y_0=1{,}0.
u_0=\frac{y_0}{t_0}=1,\qquad f_0=u_0(1-u_0)=0.
Preditor:
y_1^{(p)}=y_0+h f_0=1+0{,}1\cdot0=1.
Avalia em t_1=1{,}1,\;y_1^{(p)}=1:
u_1^{(p)}=\frac{1}{1{,}1}=0{,}9090909,\qquad f_1^{(p)}=0{,}9090909(1-0{,}9090909)=0{,}08264463.
Corretor (Euler melhorado):
y_1=y_0+\frac{h}{2}(f_0+f_1^{(p)})=1+0{,}05(0+0{,}08264463)=1{,}00413223.

Passo 5

u_1=\frac{y_1}{1{,}1}=\frac{1{,}00413223}{1{,}1}=0{,}91284748,
f_1=u_1(1-u_1)=0{,}91284748(1-0{,}91284748)=0{,}07955696.
Preditor:
y_2^{(p)}=y_1+0{,}1\cdot f_1=1{,}00413223+0{,}007955696=1{,}01208793.
Avalia em t_2=1{,}2:
u_2^{(p)}=\frac{1{,}01208793}{1{,}2}=0{,}84340661,\qquad f_2^{(p)}=0{,}84340661(1-0{,}84340661)=0{,}13207163.
Corretor:
y_2=y_1+0{,}05(f_1+f_2^{(p)})=1{,}00413223+0{,}05(0{,}07955696+0{,}13207163)=1{,}01471366.

Passo 6

u_2=\frac{y_2}{1{,}2}=0{,}84559472,\qquad f_2=u_2(1-u_2)=0{,}13056430.
Preditor:
y_3^{(p)}=y_2+0{,}1f_2=1{,}01471366+0{,}01305643=1{,}02777009.
Avalia em t_3=1{,}3:
u_3^{(p)}=\frac{1{,}02777009}{1{,}3}=0{,}79059238,\qquad f_3^{(p)}=0{,}79059238(1-0{,}79059238)=0{,}16555246.
Corretor:
y_3=1{,}01471366+0{,}05(0{,}13056430+0{,}16555246)=1{,}02951950.

Passo 7

u_3=\frac{1{,}02951950}{1{,}3}=0{,}79270731,\qquad f_3=0{,}16432040.
Preditor:
y_4^{(p)}=1{,}02951950+0{,}1\cdot0{,}16432040=1{,}04595154.
Avalia em t_4=1{,}4:
u_4^{(p)}=\frac{1{,}04595154}{1{,}4}=0{,}74710824,\qquad f_4^{(p)}=0{,}18893610.
Corretor:
y_4=1{,}02951950+0{,}05(0{,}16432040+0{,}18893610)=1{,}04718233.

Passo 8

u_4=\frac{1{,}04718233}{1{,}4}=0{,}74798738,\qquad f_4=0{,}18850219.
Preditor:
y_5^{(p)}=1{,}04718233+0{,}1\cdot0{,}18850219=1{,}06603255.
Avalia em t_5=1{,}5:
u_5^{(p)}=\frac{1{,}06603255}{1{,}5}=0{,}71068837,\qquad f_5^{(p)}=0{,}20556300.
Corretor:
y_5=1{,}04718233+0{,}05(0{,}18850219+0{,}20556300)=1{,}06688559.

Passo 9

u_5=\frac{1{,}06688559}{1{,}5}=0{,}71125706,\qquad f_5=0{,}20552100.
Preditor:
y_6^{(p)}=1{,}06688559+0{,}1\cdot0{,}20552100=1{,}08743769.
Avalia em t_6=1{,}6:
u_6^{(p)}=\frac{1{,}08743769}{1{,}6}=0{,}67964856,\qquad f_6^{(p)}=0{,}21772640.
Corretor:
y_6=1{,}06688559+0{,}05(0{,}20552100+0{,}21772640)=1{,}08804796.

Passo 10

u_6=\frac{1{,}08804796}{1{,}6}=0{,}68002998,\qquad f_6=0{,}21761400.
Preditor:
y_7^{(p)}=1{,}08804796+0{,}1\cdot0{,}21761400=1{,}10980936.
Avalia em t_7=1{,}7:
u_7^{(p)}=\frac{1{,}10980936}{1{,}7}=0{,}65283021,\qquad f_7^{(p)}=0{,}22654800.
Corretor:
y_7=1{,}08804796+0{,}05(0{,}21761400+0{,}22654800)=1{,}11025606.

Passo 11

u_7=\frac{1{,}11025606}{1{,}7}=0{,}65308945,\qquad f_7=0{,}22630800.
Preditor:
y_8^{(p)}=1{,}11025606+0{,}1\cdot0{,}22630800=1{,}13288686.
Avalia em t_8=1{,}8:
u_8^{(p)}=\frac{1{,}13288686}{1{,}8}=0{,}62938270,\qquad f_8^{(p)}=0{,}23311600.
Corretor:
y_8=1{,}11025606+0{,}05(0{,}22630800+0{,}23311600)=1{,}13322726.

Passo 12

u_8=\frac{1{,}13322726}{1{,}8}=0{,}62957070,\qquad f_8=0{,}23301600.
Preditor:
y_9^{(p)}=1{,}13322726+0{,}1\cdot0{,}23301600=1{,}15652886.
Avalia em t_9=1{,}9:
u_9^{(p)}=\frac{1{,}15652886}{1{,}9}=0{,}60870045,\qquad f_9^{(p)}=0{,}23811800.
Corretor:
y_9=1{,}13322726+0{,}05(0{,}23301600+0{,}23811800)=1{,}15678396.

Passo 13

u_9=\frac{1{,}15678396}{1{,}9}=0{,}60830735,\qquad f_9=0{,}23808600.
Preditor:
y_{10}^{(p)}=1{,}15678396+0{,}1\cdot0{,}23808600=1{,}18059256.
Avalia em t_{10}=2{,}0:
u_{10}^{(p)}=\frac{1{,}18059256}{2{,}0}=0{,}59029628,\qquad f_{10}^{(p)}=0{,}24188400.
Corretor final:
y_{10}=1{,}15678396+0{,}05(0{,}23808600+0{,}24188400)=1{,}18078246.

Resposta

\;t=1{,}0,\;y\approx1{,}000000
\;t=1{,}1,\;y\approx1{,}004132
\;t=1{,}2,\;y\approx1{,}014714
\;t=1{,}3,\;y\approx1{,}029519
\;t=1{,}4,\;y\approx1{,}047182
\;t=1{,}5,\;y\approx1{,}066886
\;t=1{,}6,\;y\approx1{,}088048
\;t=1{,}7,\;y\approx1{,}110256
\;t=1{,}8,\;y\approx1{,}133227
\;t=1{,}9,\;y\approx1{,}156784
\;t=2{,}0,\;y\approx1{,}180782