Use o Método de Euler Melhorado para aproximar a solução de cada PVI a seguir.
y^{\prime}=y / t-(y / t)^{2}, 1 \leq t \leq 2, y(1)=1 com h=0.1
y^{\prime}=y / t-(y / t)^{2}, 1 \leq t \leq 2, y(1)=1 com h=0.1
Passo 1
O enunciado pede aproximar a solução do problema de valor inicial (PVI)
usando o Método de Euler Melhorado (passo
).
Dados importantes que temos:
Dados importantes que temos:
Vamos produzir aproximações
nos pontos
para
.
Passo 2
Breve explicação do Método de Euler Melhorado (também chamado de Heun / método do trapézio explícito):
- Em cada passo
conhecemos e . - Primeiro fazemos uma previsão (preditor) com Euler explícito:
- Depois avaliamos a inclinação no ponto previsto
e usamos a média das inclinações (trapézio) para corrigir:
Explicando as variáveis:
-
é o n-ésimo nó do eixo ; -
é a aproximação da solução em ; -
é a derivada dada na EDO; -
é o tamanho do passo (aqui ).
Passo 3
Reescrevendo a função
de forma conveniente: se definimos
então
Isso ajuda para calcular mais rápido: primeiro calcule
, depois
.
Passo 4
Dados iniciais:
.
Preditor:
Avalia em
:
Corretor (Euler melhorado):
Passo 5
Preditor:
Avalia em
:
Corretor:
Passo 6
Preditor:
Avalia em
:
Corretor:
Passo 7
Preditor:
Avalia em
:
Corretor:
Passo 8
Preditor:
Avalia em
:
Corretor:
Passo 9
Preditor:
Avalia em
:
Corretor:
Passo 10
Preditor:
Avalia em
:
Corretor:
Passo 11
Preditor:
Avalia em
:
Corretor:
Passo 12
Preditor:
Avalia em
:
Corretor:
Passo 13
Preditor:
Avalia em
:
Corretor final: