Use o método do Exemplo 2 da Seção 19 para mostrar que
não existe em ponto
algum se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
dada por
não é diferenciável em nenhum ponto do plano complexo. Vamos usar a definição de derivada complexa via limite do quociente incremental, comparando direções distintas (método do Exemplo 2 da Seção 19).
Passo 2
Seja
. Precisamos avaliar o limite
quando
por duas direções diferentes.
Passo 3
Para
, escreve-se
real. Então
e
Passo 4
Para
puramente imaginário, ou seja
com
, temos
e
Passo 5
Os limites do quociente incremental pelas duas direções são distintos (
), logo o limite total não existe. Portanto,
não é diferenciável em
.
Resposta
A derivada complexa
não existe em nenhum ponto
.