Use o método do Exemplo 2 da Seção 19 para mostrar que f^{\prime}(z) não existe em ponto z algum se
f(z)=\operatorname{Re}(z)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f:\mathbb{C}\to\mathbb{R} dada por
f(z)=\operatorname{Re}(z)
não é diferenciável em nenhum ponto do plano complexo. Vamos usar a definição de derivada complexa via limite do quociente incremental, comparando direções distintas (método do Exemplo 2 da Seção 19).

Passo 2

Seja z=x+iy. Precisamos avaliar o limite
\frac{f(z+h)-f(z)}{h}
quando h\to0 por duas direções diferentes.

Passo 3

Para h\in\mathbb{R}, escreve-se h real. Então
f(z+h)=\operatorname{Re}((x+h)+iy)=x+h
e
\frac{f(z+h)-f(z)}{h} =\frac{(x+h)-x}{h} =1.

Passo 4

Para h puramente imaginário, ou seja h=ik com k\in\mathbb{R}, temos
f(z+ik)=\operatorname{Re}(x+i(y+k))=x
e
\frac{f(z+ik)-f(z)}{ik} =\frac{x-x}{ik} =0.

Passo 5

Os limites do quociente incremental pelas duas direções são distintos ( 1\neq0), logo o limite total não existe. Portanto, f não é diferenciável em z.

Resposta

A derivada complexa f'(z) não existe em nenhum ponto z\in\mathbb{C}.

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