Agora precisamos calcular \displaystyle \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta. Uma técnica clássica é multiplicar numerador e denominador por \operatorname{sec}\theta+\tan\theta e usar uma substituição final. Procedimento detalhado:
dv = (\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\operatorname{sec}^{2}\theta)\,d\theta,
que é exatamente o numerador anterior. Logo a integral vira
\int \frac{dv}{v} = \ln|v| + C = \ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta| + C.
Passo 5
Voltando das substituições: primeiro \tan\theta = u, e \operatorname{sec}\theta = \sqrt{1+\tan^{2}\theta}=\sqrt{1+u^{2}}. Assim
\ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta| + C = \ln\!\bigl|u+\sqrt{u^{2}+1}\bigr| + C.
Como u=e^{x}>0, as barras de valor absoluto não são necessárias, mas mantê-las não faz mal. Finalmente, voltando para x usando u=e^{x},
\int \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{2 x}+1}}\,dx = \ln\!\bigl(e^{x}+\sqrt{e^{2x}+1}\bigr) + C.
Observação útil: a primitiva também pode ser escrita usando a função inversa do seno hiperbólico:
\operatorname{arsinh}(e^{x})+C,
pois \operatorname{arsinh}(t)=\ln\!\bigl(t+\sqrt{t^{2}+1}\bigr).
Passo 6
Resumo rápido e encorajamento: fizemos uma substituição u=e^{x} para transformar a integral em uma forma padrão \int du/\sqrt{u^{2}+1}, aplicamos a substituição trigonométrica u=\tan\theta para reduzir a integral a \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta, integramos essa última e voltamos às variáveis originais. Está tudo certo — tu consegue repetir isso na prova!