Use o método de integração por substituição trigonométrica para resolver as seguintes integrais
\int \frac{e{x}}{\sqrt{e{2 x}+1}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida abaixo:
\int \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{2 x}+1}}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função integranda é \dfrac{e^{x}}{\sqrt{e^{2x}+1}}.
  • Quer-se uma primitiva (integral indefinida), portanto o resultado deve conter uma constante arbitrária C.

Passo 2

Primeira substituição simples para limpar a presença de e^{x}. Seja
u = e^{x}.
Então a diferencial é
du = e^{x}\,dx,
ou seja e^{x}\,dx = du. Substituindo na integral obtemos
\int \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{2 x}+1}}\,dx = \int \frac{du}{\sqrt{u^{2}+1}}.
Agora o integrando é \dfrac{1}{\sqrt{u^{2}+1}}, que é clássico para a substituição trigonométrica.

Passo 3

Usamos a substituição trigonométrica apropriada para termos do tipo \sqrt{u^{2}+1}. Tomamos
u = \tan\theta.
Isso é conveniente porque
\sqrt{u^{2}+1}=\sqrt{\tan^{2}\theta+1}=\operatorname{sec}\theta.
Além disso
du = \operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Substituindo tudo na integral em u:
\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}+1}} = \int \frac{\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{\operatorname{sec}\theta} = \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.

Passo 4

Agora precisamos calcular \displaystyle \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta. Uma técnica clássica é multiplicar numerador e denominador por \operatorname{sec}\theta+\tan\theta e usar uma substituição final. Procedimento detalhado:
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \int \operatorname{sec}\theta\cdot\frac{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}\,d\theta = \int \frac{\operatorname{sec}^{2}\theta+\operatorname{sec}\theta\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}\,d\theta.
Agora faça a substituição
v = \operatorname{sec}\theta+\tan\theta.
Calculando dv:
dv = (\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\operatorname{sec}^{2}\theta)\,d\theta,
que é exatamente o numerador anterior. Logo a integral vira
\int \frac{dv}{v} = \ln|v| + C = \ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta| + C.

Passo 5

Voltando das substituições: primeiro \tan\theta = u, e \operatorname{sec}\theta = \sqrt{1+\tan^{2}\theta}=\sqrt{1+u^{2}}. Assim
\ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta| + C = \ln\!\bigl|u+\sqrt{u^{2}+1}\bigr| + C.
Como u=e^{x}>0, as barras de valor absoluto não são necessárias, mas mantê-las não faz mal. Finalmente, voltando para x usando u=e^{x},
\int \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{2 x}+1}}\,dx = \ln\!\bigl(e^{x}+\sqrt{e^{2x}+1}\bigr) + C.
Observação útil: a primitiva também pode ser escrita usando a função inversa do seno hiperbólico:
\operatorname{arsinh}(e^{x})+C,
pois \operatorname{arsinh}(t)=\ln\!\bigl(t+\sqrt{t^{2}+1}\bigr).

Passo 6

Resumo rápido e encorajamento: fizemos uma substituição u=e^{x} para transformar a integral em uma forma padrão \int du/\sqrt{u^{2}+1}, aplicamos a substituição trigonométrica u=\tan\theta para reduzir a integral a \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta, integramos essa última e voltamos às variáveis originais. Está tudo certo — tu consegue repetir isso na prova!

Resposta

\ln\!\bigl(e^{x}+\sqrt{e^{2x}+1}\bigr)+C