Use o método de integração por substituição trigonométrica para resolver as seguintes integrais
\int \frac{x{2}}{\sqrt{2-x{2}}} d x
\int \frac{x{2}}{\sqrt{2-x{2}}} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações importantes dadas:
- A expressão dentro da raiz é
, então a integral é natural para a técnica de substituição trigonométrica do tipo . - Para a raiz estar real precisa ser
, logo . Isso nos orienta sobre o domínio e sobre a escolha do arco do ângulo na substituição (ver passos abaixo).
O que se pede: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja uma funçãotal que .
Passo 2
Ideia da substituição trigonométrica e escolha:
- Sempre que aparece
costuma-se usar . Isso funciona porque pela identidade trigonométrica a raiz simplifica. - Aqui
. Então fazemos a substituição
Explicação do porquê: se
então
e assim
.
- Sobre o sinal: escolhemos o intervalo principal
onde . Essa escolha é compatível com e garante . Isso evita confusão de sinais ao simplificar a raiz.
Passo 3
Calcular
e reescrever a integral em
:
- Derivando
obtemos
- Também
e, como explicado, (no intervalo escolhido).
Substituindo tudo na integral:
Agora vemos que
no numerador e denominador se cancelam, restando
Comentário: esse cancelamento é a mágica da substituição trigonométrica — a raiz some e a integral fica numa forma trigonométrica simples.
Passo 4
Integrar
:
- Usamos a identidade de redução para seno ao quadrado:
Explicação da identidade: vem da fórmula de cosseno duplo
, resolvendo para
.
- Substituindo,
Logo a integral vira
- Integrando termo a termo:
porque, de modo geral,
.
Portanto
Portanto
Passo 5
Simplificar a expressão em
:
- Use a fórmula de ângulo duplo
. Assim
Portanto a primitiva em termos de
é
Passo 6
Voltar para a variável
:
- Da substituição
obtemos . - Também
(novamente usando no intervalo escolhido). - Então
- E
.
Substituindo esses emobtemos a antiderivada em termos de .