Use o método de integração por substituição trigonométrica para resolver as seguintes integrais
\int \frac{x{2}}{\sqrt{2-x{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{2-x^{2}}}\,dx.
Informações importantes dadas:
  • A expressão dentro da raiz é 2-x^{2}, então a integral é natural para a técnica de substituição trigonométrica do tipo \sqrt{a^{2}-x^{2}}.
  • Para a raiz estar real precisa ser 2-x^{2}>0, logo |x|<\sqrt{2}. Isso nos orienta sobre o domínio e sobre a escolha do arco do ângulo na substituição (ver passos abaixo).
    O que se pede: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x^{2}}{\sqrt{2-x^{2}}}.

Passo 2

Ideia da substituição trigonométrica e escolha:
  • Sempre que aparece \sqrt{a^{2}-x^{2}} costuma-se usar x=a\sin\theta. Isso funciona porque pela identidade trigonométrica \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1 a raiz simplifica.
  • Aqui a=\sqrt{2}. Então fazemos a substituição
x=\sqrt{2}\,\sin\theta.
Explicação do porquê: se x=\sqrt{2}\sin\theta então
2-x^{2}=2-(\sqrt{2}\sin\theta)^{2}=2-2\sin^{2}\theta=2\cos^{2}\theta,
e assim \sqrt{2-x^{2}}=\sqrt{2}\,|\cos\theta|.
  • Sobre o sinal: escolhemos o intervalo principal \theta\in\big[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big] onde \cos\theta\ge0. Essa escolha é compatível com |x|<\sqrt{2} e garante |\cos\theta|=\cos\theta. Isso evita confusão de sinais ao simplificar a raiz.

Passo 3

Calcular dx e reescrever a integral em \theta:
  • Derivando x=\sqrt{2}\sin\theta obtemos
dx=\sqrt{2}\cos\theta\,d\theta.
  • Também x^{2}=2\sin^{2}\theta e, como explicado, \sqrt{2-x^{2}}=\sqrt{2}\cos\theta (no intervalo escolhido).
    Substituindo tudo na integral:
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{2-x^{2}}}\,dx = \int \frac{2\sin^{2}\theta}{\sqrt{2}\cos\theta}\cdot\big(\sqrt{2}\cos\theta\,d\theta\big).
Agora vemos que \sqrt{2}\cos\theta no numerador e denominador se cancelam, restando
\int 2\sin^{2}\theta\,d\theta.
Comentário: esse cancelamento é a mágica da substituição trigonométrica — a raiz some e a integral fica numa forma trigonométrica simples.

Passo 4

Integrar 2\sin^{2}\theta:
  • Usamos a identidade de redução para seno ao quadrado:
\sin^{2}\theta=\frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
Explicação da identidade: vem da fórmula de cosseno duplo \cos(2\theta)=1-2\sin^{2}\theta, resolvendo para \sin^{2}\theta.
  • Substituindo,
2\sin^{2}\theta = 2\cdot\frac{1-\cos(2\theta)}{2} = 1-\cos(2\theta).
Logo a integral vira
\int 2\sin^{2}\theta\,d\theta = \int\big(1-\cos(2\theta)\big)\,d\theta.
  • Integrando termo a termo:
\int 1\,d\theta = \theta, \qquad \int \cos(2\theta)\,d\theta = \frac{1}{2}\sin(2\theta)
porque, de modo geral, \int \cos(k\theta)\,d\theta = \frac{1}{k}\sin(k\theta).
Portanto
\int\big(1-\cos(2\theta)\big)\,d\theta = \theta - \frac{1}{2}\sin(2\theta) + C.

Passo 5

Simplificar a expressão em \theta:
  • Use a fórmula de ângulo duplo \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta. Assim
\frac{1}{2}\sin(2\theta)=\frac{1}{2}\cdot 2\sin\theta\cos\theta = \sin\theta\cos\theta.
Portanto a primitiva em termos de \theta é
\theta - \sin\theta\cos\theta + C.

Passo 6

Voltar para a variável x:
  • Da substituição x=\sqrt{2}\sin\theta obtemos \sin\theta=\dfrac{x}{\sqrt{2}}.
  • Também \cos\theta=\sqrt{1-\sin^{2}\theta}=\sqrt{1-\dfrac{x^{2}}{2}}=\dfrac{\sqrt{2-x^{2}}}{\sqrt{2}} (novamente usando \cos\theta\ge0 no intervalo escolhido).
  • Então
\sin\theta\cos\theta = \frac{x}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2-x^{2}}}{\sqrt{2}} = \frac{x\sqrt{2-x^{2}}}{2}.
  • E \theta=\arcsin\!\big(\dfrac{x}{\sqrt{2}}\big).
    Substituindo esses em \theta-\sin\theta\cos\theta+C obtemos a antiderivada em termos de x.

Resposta

\arcsin\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)-\frac{x\sqrt{2-x^{2}}}{2}+C