Use o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral das EDO’s.
n) y^{\prime}+y^{2} \operatorname{sen} x=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de primeira ordem
y' + y^{2}\sin x = 0
pelo método de separação de variáveis. Vamos reconhecer que se trata de uma equação separável, isto é, podemos expressar todos os y de um lado e todos os x do outro antes de integrar.

Passo 2

Reescrevemos a equação isolando a derivada \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = -\,y^{2}\,\sin x.

Passo 3

Separamos as variáveis, dividindo ambos os lados por y^{2} e multiplicando por dx:
y^{-2}\,dy = -\,\sin x\,dx.

Passo 4

Integramos os dois lados. Do lado esquerdo temos
\int y^{-2}\,dy = \int y^{-2}dy = -\,y^{-1} + C_1,
e do lado direito
\int -\sin x\,dx = \cos x + C_2.
Juntando as constantes de integração em uma só, chamemos C = C_2 - C_1. Assim obtemos
-\,\frac{1}{y} = \cos x + C.

Passo 5

Isolamos y. Multiplicando por -1 e invertendo,
\frac{1}{y} = -\,\cos x - C \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{1}{-\,\cos x - C}.
Podemos renomear a constante -C para K, obtendo a forma mais usual:

Resposta

y(x) = \frac{1}{K - \cos x},
onde K é constante arbitrária.

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