Use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.
8. y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime}=\csc t, \quad 0<t<\pi

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime}=\csc t,\qquad 0<t<\pi.
Informações dadas:
  • A equação é de ordem três não homogênea, com termo forçante \csc t.
  • O domínio é 0<t<\pi (onde \csc t e \tan(t/2) são bem definidos, exceto nas extremidades).
  • Preciso fornecer a solução geral (três constantes arbitrárias).

Passo 2

Observação útil (redução de ordem): a esquerda é a derivada de y''-y, porque
\frac{d}{dt}\bigl(y''-y\bigr)=y'''-y'.
Portanto podemos integrar a equação uma vez para reduzir a ordem. Integramos ambos os lados:
y''-y=\int \csc t\,dt = \ln\!\bigl|\tan\frac{t}{2}\bigr| + C,
onde usei a primitiva conhecida de \csc t. Aqui C é uma constante de integração. Vou, por ora, separar a parte \ln\!\bigl|\tan\frac{t}{2}\bigr| e lembrar que a constante pode ser absorvida depois nos constantes gerais da solução.

Passo 3

Pequena demonstração de \int \csc t\,dt=\ln\!\bigl|\tan\frac{t}{2}\bigr|+C:
basta observar que
\frac{d}{dt}\ln\!\bigl(\tan\frac{t}{2}\bigr)=\frac{1}{\tan(t/2)}\cdot\frac12\operatorname{sec}^2\!\frac{t}{2} =\frac{1}{2}\frac{1}{\sin(t/2)\cos(t/2)}=\frac{1}{\sin t}=\csc t.
Logo a primitiva usada está correta. (No intervalo 0<t<\pi podemos omitir as barras de valor absoluto se desejar, mas deixo a forma geral.)

Passo 4

Agora resolvemos a equação de segunda ordem obtida:
y''-y=\ln\!\bigl|\tan\frac{t}{2}\bigr| + C.
A equação homogênea associada é
y''-y=0,
com equação característica r^2-1=0, raízes r=\pm1. Portanto um sistema fundamental é
y_1(t)=e^{t},\qquad y_2(t)=e^{-t}.
A solução geral da homogênea é y_h=D_1 e^{t}+D_2 e^{-t}.
A parte constante C do lado direito admite solução particular constante y=-C (pois ( -C)'' -(-C)=0-C = -C, portanto para o lado +C a solução particular é -C). Essa constante será absorvida nas constantes arbitrárias finais; por simplicidade tratarei apenas do termo não-constante g(t)=\ln\!\bigl|\tan\frac{t}{2}\bigr| e acrescentarei a liberdade das constantes no final.

Passo 5

Aplicamos variação de parâmetros para resolver
y''-y=g(t),\qquad g(t)=\ln\!\bigl|\tan\frac{t}{2}\bigr|.
Fórmulas (segunda ordem): com y_1=e^{t},\,y_2=e^{-t} e Wronskiano
W(t)=\begin{vmatrix}e^{t} & e^{-t}\\\ e^{t} & -e^{-t}\end{vmatrix}= -2,
os coeficientes das variações são
u_1'(t)=-\frac{g(t)\,y_2(t)}{W(t)}=-\frac{\ln\!\bigl|\tan\frac{t}{2}\bigr|\;e^{-t}}{-2}=\tfrac12 e^{-t}\ln\!\bigl|\tan\frac{t}{2}\bigr|,
u_2'(t)=\frac{g(t)\,y_1(t)}{W(t)}=\frac{\ln\!\bigl|\tan\frac{t}{2}\bigr|\;e^{t}}{-2}=-\tfrac12 e^{t}\ln\!\bigl|\tan\frac{t}{2}\bigr|.
Integramos para obter u_1,u_2:
u_1(t)=\tfrac12\int e^{-s}\ln\!\bigl|\tan\frac{s}{2}\bigr|\,ds,\qquad u_2(t)=-\tfrac12\int e^{s}\ln\!\bigl|\tan\frac{s}{2}\bigr|\,ds,
onde usei s como variável de integração.

Passo 6

A solução particular (para o termo g(t)) é
y_p(t)=u_1(t)e^{t}+u_2(t)e^{-t} =\tfrac12 e^{t}\int e^{-s}\ln\!\bigl|\tan\frac{s}{2}\bigr|\,ds -\tfrac12 e^{-t}\int e^{s}\ln\!\bigl|\tan\frac{s}{2}\bigr|\,ds.
Como expliquei, a constante resultante da primeira integração (quando reduzimos a ordem) pode ser absorvida em uma solução constante; assim a solução geral da equação original de terceira ordem tem três constantes arbitrárias. É prático escolher integrais definidas a partir de um ponto t_0 dentro do intervalo (por exemplo t_0=\tfrac{\pi}{2}, onde \tan(t_0/2)=1 e \ln 1=0) para eliminar constantes de integração implícitas nas primitivas. Tomando integrais definidas de t_0=\tfrac{\pi}{2} até t, obtemos uma forma explícita e única para a parte integral.

Passo 7

Reunindo tudo: a solução geral da equação original é a soma da solução homogênea de terceira ordem (que inclui a solução constante 1) e da parte particular obtida acima. Posso escrever a solução geral com três constantes arbitrárias C_1,C_2,C_3 e as integrais definidas a partir de t_0=\tfrac{\pi}{2} para ficar mais limpo:
y(t)=C_1 + C_2 e^{t} + C_3 e^{-t} +\tfrac12 e^{t}\int_{\pi/2}^{\,t} e^{-s}\ln\!\bigl|\tan\frac{s}{2}\bigr|\,ds -\tfrac12 e^{-t}\int_{\pi/2}^{\,t} e^{s}\ln\!\bigl|\tan\frac{s}{2}\bigr|\,ds.
Nesta expressão:
  • C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias (a constante C_1 corresponde à solução constante da homogênea y\equiv 1);
  • os termos integrais constituem uma solução particular; ao escolher o ponto inferior \pi/2 as integrais ficam nulas em t=\pi/2, o que fixa uma convenção para as primitivas sem perder generalidade.

Resposta

y(t)=C_1 + C_2 e^{t} + C_3 e^{-t} +\tfrac12 e^{t}\int_{\pi/2}^{\,t} e^{-s}\ln\!\bigl|\tan\frac{s}{2}\bigr|\,ds -\tfrac12 e^{-t}\int_{\pi/2}^{\,t} e^{s}\ln\!\bigl|\tan\frac{s}{2}\bigr|\,ds