Use os métodos discutidos em Equações na forma y' = G(a x + b y) e em Equações com coeficientes lineares e resolva as equações diferenciais:
d/y dx = (x+y+2)²

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que você me passou é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial. Para resolver, vamos usar métodos que envolvem substituir variáveis e simplificar a equação para torná-la mais fácil de trabalhar. Vamos precisar entender um pouco sobre substituições em equações diferenciais e como separar as variáveis para integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Vamos fazer uma substituição para tornar a expressão mais fácil de lidar. Vamos definir uma nova variável da seguinte forma:
Isso significa que . Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a :

Passo 3

Sabemos que . Substituindo isso na expressão da derivada de :
Agora, temos uma equação diferencial em termos de e :

Passo 4

Essa nova equação é mais fácil de resolver porque é separável, o que significa que podemos separar as variáveis e em lados opostos da equação. Vamos fazer isso:
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar em termos de .

Passo 5

Vamos integrar:
A integral do lado esquerdo é uma fórmula conhecida:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos resolver para :
Lembrando que , podemos substituir de volta:

Passo 7

Finalmente, vamos isolar para encontrar a solução geral da equação diferencial:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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