Use o modelo cinético para calcular a velocidade média quadrática de
de \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} na atmosfera da Terra a 273 K.

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos:
  • Pede a velocidade média quadrática (velocidade RMS) de uma molécula de \mathrm{H_2O} na atmosfera a T=273\\ \mathrm{K}.
  • Informação necessária que vamos usar:
    • Temperatura: T=273\\ \mathrm{K}.
    • Massa molar da água: M=18{,}01528\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}} (valor tomado da tabela periódica).
    • Constante dos gases ideais: R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.
  • Objetivo: calcular \overline{v^2}^{1/2} (velocidade RMS), que é a quantidade pedida.

Passo 2

Qual fórmula usar e por quê (e derivação curta, explicada):
  • A ideia física (passo a passo): na teoria cinética dos gases, a energia cinética translacional média por molécula é \frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac{3}{2}k_B T,onde:
    • m é a massa de uma molécula (em kg),
    • \overline{v^2} é o valor médio do quadrado da velocidade (m2/s2),
    • k_B é a constante de Boltzmann ( k_B=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J\\ K^{-1}}),
    • T é a temperatura em kelvin.
  • Isolando \overline{v^2} obtemos \overline{v^2}=\frac{3k_B T}{m},e a velocidade RMS (velocidade média quadrática) é v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3k_B T}{m}}.
  • Forma prática usando grandezas molares (evita usar m diretamente): como m=M/N_A e k_B=R/N_A, substituindo obtemos a forma equivalente v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3R T}{M}},onde:
    • R é a constante dos gases ideais (J mol^{-1} K^{-1}),
    • M é a massa molar em \mathrm{kg\\ mol^{-1}},
    • T em K.
  • Vou usar a forma \displaystyle v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3R T}{M}} porque é direta quando se conhece a massa molar.

Passo 3

Converter a massa molar para as unidades corretas:
  • A massa molar dada é M=18{,}01528\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
  • Precisamos de M em \mathrm{kg\\ mol^{-1}}. Converter gramas para quilogramas dividindo por 1000: M=18{,}01528\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}=0{,}01801528\\ \mathrm{kg\\ mol^{-1}}.

Passo 4

Substituir os valores na fórmula e calcular passo a passo:
  • A fórmula: v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3R T}{M}}.
  • Calcular o numerador 3 R T: 3 R T = 3\cdot 8{,}314462618\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}\cdot 273\\ \mathrm{K}.Primeiro R\cdot T = 8{,}314462618\cdot 273 \approx 2268{,}848294714\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
    Então 3 R T \approx 3\cdot 2268{,}848294714 \approx 6806{,}544884142\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
  • Agora dividir por M: \frac{3 R T}{M} \approx \frac{6806{,}544884142}{0{,}01801528}\\ \mathrm{m^2\\ s^{-2}}.Fazendo a divisão (mostrando o resultado aproximado): \frac{3 R T}{M}\approx 3{,}78\times 10^{5}\\ \mathrm{m^2\\ s^{-2}}.

Passo 5

Tirar a raiz quadrada e interpretar o resultado:
  • Tomando raiz: v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{3{,}78\times10^{5}}\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}\approx 6,15\times10^{2}\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}.
  • Em número simples: v_{\mathrm{rms}}\approx 615\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}.
  • Interpretação rápida e encorajamento: isso significa que, à temperatura de 273\\ \mathrm{K}, a velocidade típica (RMS) das moléculas de água no ar é da ordem de algumas centenas de metros por segundo — ou seja, bem rápida! Não se assuste com o número grande; é normal para moléculas leves a temperaturas ambientes.

Resposta

v_{\mathrm{rms}}\approx 6{,}15\times10^{2}\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}