Use, se possível, o Teste da Razão para decidir se as séries convergem ou divergem: sumn=1^+infty (-1)^n n^33^n.

Passo 1

Vamos analisar a série infinita . Para decidir se essa série converge ou diverge, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste é uma ferramenta que nos ajuda a determinar a convergência de séries infinitas comparando os termos consecutivos da série.

Passo 2

Primeiro, identificamos o termo geral da série, que é:
an = (-1)^n n^33^n

Passo 3

O Teste da Razão funciona da seguinte maneira: calculamos o limite L = limn to infty | an+1an | da razão entre o termo e o termo quando tende ao infinito. A fórmula fica assim:
Dependendo do valor de , temos:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular a razão an+1an = (-1)^n+1 (n+1)^33^n+1 div (-1)^n n^33^n = (-1)^n+1(-1)^n cdot (n+1)^3n^3 cdot 3^n3^n+1 :
an+1an = (-1) cdot (1 + 1n)^3 cdot 13
Simplificando os termos:
| an+1an | = (n+1)^33 n^3
Como estamos interessados no valor absoluto:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite L = limn to infty (n+1)^33 n^3 = 13 limn to infty (1 + 1n)^3 :
L = 13 times 1 = 13
Sabemos que , então:

Passo 6

Como , de acordo com o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge.

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