Use as propriedades do exercício anterior para mostrar que:
(a)
(Dica: Use que
1)
)
(b)
(Dica: Use o item anterior)
(c)
(Dica:
)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O problema pede para mostrar as quatro igualdades abaixo, para um inteiro positivo
:
(a)
(b)
(c)
(d)
Informações dadas / dicas no enunciado:
- Para (a) foi sugerido usar a identidade
- Para (b) foi sugerido usar o item anterior (a).
- Para (c) foi dada a identidade
- Para (d) não há dica explícita, mas poderemos usar a ideia das somas telescópicas aplicada a diferenças de potências e os resultados já obtidos em (b) e (c).
Observação:
é um inteiro positivo e as somas são sobre
.
Passo 2
Explicação da ferramenta principal: soma telescópica.
Se tivermos uma sequência
e considerarmos a soma das diferenças
, então muitos termos se cancelam quando escrevemos os primeiros termos explicitamente:
Esse cancelamento é chamado de telescópico porque os termos intermediários “fecham” uns com os outros. É uma técnica muito útil quando reconectamos uma soma complicada com diferenças de quantidades mais simples. Vou usá-la nas partes abaixo.
Passo 3
Demonstração de (a) usando telescópico.
Usamos a identidade sugerida:
Somando ambos os lados para
até
obtemos
Pelo efeito telescópico do lado direito,
porque todos os termos intermediários
e
se cancelam, sobrando apenas
menos o primeiro termo com
, que é
. Logo
como queríamos.
Passo 4
Demonstração de (b) usando (a).
Observe que
Pelo item (a) sabemos que a soma da esquerda é
. Portanto
Isolando
temos
ou seja
Podemos conferir com um exemplo pequeno: para
a soma dos primeiros três inteiros é
e a fórmula dá
, certo.
Passo 5
Demonstração de (c) usando a identidade cúbica e (b).
Começamos da identidade dada:
Somando para
até
obtemos
O lado esquerdo telescopa:
Logo
Denotando
e usando
do item (b) e
, temos
Agora isolamos
:
Calculemos cuidadosamente os termos (faço passo a passo para ficar bem claro):
Então
Dividindo por
,
Portanto
como pedido.
Passo 6
Demonstração de (d) usando diferença de quartas potências, e verificação com uma identidade conhecida.
Considere a identidade (fórmula da diferença de quartas potências):
Somando para
até
obtemos, pelo telescópio no lado esquerdo,
Escrevendo as somas separadas:
Denotando
e usando os resultados de (b) e (c) e
, temos
Vamos simplificar termo a termo:
Calcule
vezes
:
Calcule
vezes
:
Substituindo:
Agrupando os termos constantes em
,
e
:
Simplificando:
Então
Dividindo por
,
Verificação alternativa (cheia de intuição): pela identidade bem conhecida
e como
, eleva-se ao quadrado para obter
que coincide com o que acabamos de obter.
Portanto
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)