Use as propriedades do exercício anterior para mostrar que:
(a)
\sum_{k=1}^{n}(2 k-1)=n^{2}
(Dica: Use que 2 k-1=k^{2}-(k- 1) { }^{2} )
(b)
\sum_{k=1}^{n} k=\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{2}
(Dica: Use o item anterior)
(c)
\sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n^{3}}{3}+\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{6}
(Dica: k^{3}-(k-1)^{3}=3 k^{2}-3 k+1 )
(d)
\sum_{k=1}^{n} k^{3}=\frac{n^{4}}{4}+\frac{n^{3}}{3}+\frac{n^{2}}{4}

Passo 1

O problema pede para mostrar as quatro igualdades abaixo, para um inteiro positivo n:
(a) \sum_{k=1}^{n}(2 k-1)=n^{2}
(b) \sum_{k=1}^{n} k=\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{2}
(c) \sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n^{3}}{3}+\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{6}
(d) \sum_{k=1}^{n} k^{3}=\frac{n^{4}}{4}+\frac{n^{3}}{2}+\frac{n^{2}}{4}
Informações dadas / dicas no enunciado:
  • Para (a) foi sugerido usar a identidade 2k-1 = k^{2} - (k-1)^{2}.
  • Para (b) foi sugerido usar o item anterior (a).
  • Para (c) foi dada a identidade k^{3} - (k-1)^{3} = 3k^{2} - 3k + 1.
  • Para (d) não há dica explícita, mas poderemos usar a ideia das somas telescópicas aplicada a diferenças de potências e os resultados já obtidos em (b) e (c).
Observação: n é um inteiro positivo e as somas são sobre k=1,2,\dots,n.

Passo 2

Explicação da ferramenta principal: soma telescópica.
Se tivermos uma sequência a_k e considerarmos a soma das diferenças \sum_{k=1}^{n}\bigl(a_k-a_{k-1}\bigr), então muitos termos se cancelam quando escrevemos os primeiros termos explicitamente:
\bigl(a_1-a_0\bigr)+\bigl(a_2-a_1\bigr)+\cdots+\bigl(a_n-a_{n-1}\bigr)=a_n-a_0.
Esse cancelamento é chamado de telescópico porque os termos intermediários “fecham” uns com os outros. É uma técnica muito útil quando reconectamos uma soma complicada com diferenças de quantidades mais simples. Vou usá-la nas partes abaixo.

Passo 3

Demonstração de (a) usando telescópico.
Usamos a identidade sugerida:
2k-1 = k^{2} - (k-1)^{2}.
Somando ambos os lados para k=1 até n obtemos
\sum_{k=1}^{n}(2k-1) = \sum_{k=1}^{n}\bigl(k^{2} - (k-1)^{2}\bigr).
Pelo efeito telescópico do lado direito,
\sum_{k=1}^{n}\bigl(k^{2} - (k-1)^{2}\bigr) = n^{2} - 0^{2} = n^{2},
porque todos os termos intermediários k^{2} e -(k^{2}) se cancelam, sobrando apenas n^{2} menos o primeiro termo com k=0, que é 0^{2}=0. Logo
\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2},
como queríamos.

Passo 4

Demonstração de (b) usando (a).
Observe que
\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=\sum_{k=1}^{n}2k - \sum_{k=1}^{n}1 = 2\sum_{k=1}^{n}k - n.
Pelo item (a) sabemos que a soma da esquerda é n^{2}. Portanto
n^{2} = 2\sum_{k=1}^{n}k - n.
Isolando \sum_{k=1}^{n}k temos
2\sum_{k=1}^{n}k = n^{2} + n,
ou seja
\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n^{2}+n}{2} = \frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{2}.
Podemos conferir com um exemplo pequeno: para n=3 a soma dos primeiros três inteiros é 1+2+3=6 e a fórmula dá (9+3)/2=6, certo.

Passo 5

Demonstração de (c) usando a identidade cúbica e (b).
Começamos da identidade dada:
k^{3} - (k-1)^{3} = 3k^{2} - 3k + 1.
Somando para k=1 até n obtemos
\sum_{k=1}^{n}\bigl(k^{3} - (k-1)^{3}\bigr) = \sum_{k=1}^{n}\bigl(3k^{2} - 3k + 1\bigr).
O lado esquerdo telescopa:
\sum_{k=1}^{n}\bigl(k^{3} - (k-1)^{3}\bigr) = n^{3} - 0^{3} = n^{3}.
Logo
n^{3} = 3\sum_{k=1}^{n}k^{2} - 3\sum_{k=1}^{n}k + \sum_{k=1}^{n}1.
Denotando S_2=\sum_{k=1}^{n}k^{2} e usando \sum_{k=1}^{n}k do item (b) e \sum_{k=1}^{n}1=n, temos
n^{3} = 3S_2 - 3\left(\frac{n^{2}+n}{2}\right) + n.
Agora isolamos S_2:
3S_2 = n^{3} + 3\left(\frac{n^{2}+n}{2}\right) - n.
Calculemos cuidadosamente os termos (faço passo a passo para ficar bem claro):
3\left(\frac{n^{2}+n}{2}\right) = \frac{3n^{2}+3n}{2}.
Então
3S_2 = n^{3} + \frac{3n^{2}+3n}{2} - n = n^{3} + \frac{3n^{2}+3n - 2n}{2} = n^{3} + \frac{3n^{2}+n}{2}.
Dividindo por 3,
S_2 = \frac{n^{3}}{3} + \frac{3n^{2}+n}{6} = \frac{n^{3}}{3} + \frac{n^{2}}{2} + \frac{n}{6}.
Portanto
\sum_{k=1}^{n}k^{2} = \frac{n^{3}}{3}+\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{6},
como pedido.

Passo 6

Demonstração de (d) usando diferença de quartas potências, e verificação com uma identidade conhecida.
Considere a identidade (fórmula da diferença de quartas potências):
k^{4} - (k-1)^{4} = 4k^{3} - 6k^{2} + 4k - 1.
Somando para k=1 até n obtemos, pelo telescópio no lado esquerdo,
n^{4} = \sum_{k=1}^{n}\bigl(4k^{3} - 6k^{2} + 4k - 1\bigr).
Escrevendo as somas separadas:
n^{4} = 4\sum_{k=1}^{n}k^{3} - 6\sum_{k=1}^{n}k^{2} + 4\sum_{k=1}^{n}k - \sum_{k=1}^{n}1.
Denotando S_3=\sum_{k=1}^{n}k^{3} e usando os resultados de (b) e (c) e \sum_{k=1}^{n}1=n, temos
n^{4} = 4S_3 - 6\left(\frac{n^{3}}{3}+\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{6}\right) + 4\left(\frac{n^{2}+n}{2}\right) - n.
Vamos simplificar termo a termo:
Calcule 6 vezes S_2:
6\left(\frac{n^{3}}{3}+\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{6}\right) = 2n^{3} + 3n^{2} + n.
Calcule 4 vezes S_1:
4\left(\frac{n^{2}+n}{2}\right) = 2n^{2} + 2n.
Substituindo:
n^{4} = 4S_3 - \bigl(2n^{3} + 3n^{2} + n\bigr) + \bigl(2n^{2} + 2n\bigr) - n.
Agrupando os termos constantes em n, n^{2} e n^{3}:
n^{4} = 4S_3 - 2n^{3} - 3n^{2} - n + 2n^{2} + 2n - n.
Simplificando:
n^{4} = 4S_3 - 2n^{3} - n^{2} + 0\cdot n.
Então
4S_3 = n^{4} + 2n^{3} + n^{2}.
Dividindo por 4,
S_3 = \frac{n^{4}}{4} + \frac{2n^{3}}{4} + \frac{n^{2}}{4} = \frac{n^{4}}{4} + \frac{n^{3}}{2} + \frac{n^{2}}{4}.
Verificação alternativa (cheia de intuição): pela identidade bem conhecida
\sum_{k=1}^{n}k^{3} = \left(\sum_{k=1}^{n}k\right)^{2},
e como \sum_{k=1}^{n}k = \dfrac{n^{2}+n}{2}, eleva-se ao quadrado para obter
\left(\frac{n^{2}+n}{2}\right)^{2} = \frac{n^{4} + 2n^{3} + n^{2}}{4} = \frac{n^{4}}{4} + \frac{n^{3}}{2} + \frac{n^{2}}{4},
que coincide com o que acabamos de obter.
Portanto
\sum_{k=1}^{n}k^{3} = \frac{n^{4}}{4}+\frac{n^{3}}{2}+\frac{n^{2}}{4}.

Resposta

(a) \sum_{k=1}^{n}(2 k-1)=n^{2}
(b) \sum_{k=1}^{n} k=\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{2}
(c) \sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n^{3}}{3}+\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{6}
(d) \sum_{k=1}^{n} k^{3}=\frac{n^{4}}{4}+\frac{n^{3}}{2}+\frac{n^{2}}{4}

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