Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(l) f(x) = 1 / (3^x + e^x).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a sua derivada usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar saber como aplicar a regra da cadeia e também como derivar funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a estrutura da função. Ela é uma fração, onde o numerador é 1 e o denominador é . Para derivar essa função, vamos usar a regra da cadeia combinada com a regra do quociente.

Passo 3

Vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
Assim, podemos aplicar a regra da cadeia diretamente, considerando .

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de é:
Agora, precisamos encontrar , que é a derivada de .

Passo 5

Vamos derivar . As derivadas das funções exponenciais são:
Então,

Passo 6

Voltando à expressão de :
Podemos simplificar isso:

Resposta

A derivada de é:

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