Use a a regra da substituição para calcular as integrais abaixo:
a) integral(2 x+1)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema pede para calcular a integral de em relação a . Isso está relacionado ao cálculo de integrais usando a regra da substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão u = 2x + 1 que podemos substituir por uma variável nova para facilitar a integração. Observamos que a parte interna da função é . Vamos chamar essa parte de .
Então, definimos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2 em relação a du = 2 dx para substituir o diferencial dx = du2 na integral. Derivando em relação a :

Passo 4

Vamos substituir integral (u)^3 cdot du2 = 12 integral u^3 du e na integral original. A integral fica:

Passo 5

Agora, integraremos 12 cdot u^44 = u^48 em relação a . A integral de é , então:

Passo 6

Por fim, substituímos (2x + 1)^48 + C de volta na expressão original :

Resposta

A integral de (2x + 1)^48 + C é:

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