Use as relações de mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas polares para obter a equação polar correspondente a cada equação cartesiana dada.
2 x-y+1=0;

Passo 1

O enunciado pede: usar as relações de mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas polares para obter a equação polar correspondente à equação cartesiana
2x - y + 1 = 0.
Informações dadas:
  • A equação cartesiana é \,2x - y + 1 = 0\,.
  • Não há outras informações numéricas.
    O objetivo é reescrever essa reta em termos das variáveis polares \,r\, e \,\theta\,.

Passo 2

Lembrete (fórmula de mudança de coordenadas) — o que são \,r\, e \,\theta\, e como trocar:
  • \,r\, é a distância do ponto até a origem.
  • \,\theta\, é o ângulo do raio vetor com o eixo x positivo.
    As relações que ligam cartesianas e polares são
x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta.
Essas fórmulas valem para qualquer ponto representado nas duas coordenadas; vamos usá-las para substituir x e y na equação da reta.

Passo 3

Substituir x e y na equação dada usando as relações polares:
2x - y + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2(r\cos\theta) - r\sin\theta + 1 = 0.

Passo 4

Fatorar r na expressão obtida:
r(2\cos\theta - \sin\theta) + 1 = 0.
Agora isolar r para obter a equação na forma r = \text{(função de }\theta\text{)}çã.

Passo 5

Resolvendo para r:
r(2\cos\theta - \sin\theta) = -1 \quad\Rightarrow\quad r = -\dfrac{1}{2\cos\theta - \sin\theta}.
Uma forma equivalente, multiplicando numerador e denominador por -1, é
r = \dfrac{1}{\sin\theta - 2\cos\theta}.
Observações didáticas e úteis para a prova:
  • Em geral, para uma reta \,ax+by+c=0\, obtém-se \,r(a\cos\theta+b\sin\theta)+c=0\,, logo \,r=-\dfrac{c}{a\cos\theta+b\sin\theta}.
  • A expressão para r só é válida quando o denominador não é zero. Aqui o denominador se anula quando
2\cos\theta - \sin\theta = 0 \quad\Rightarrow\quad \tan\theta = 2,
ou seja, \,\theta = \arctan(2) + k\pi para inteiro k. Nessas direções o raio é paralelo à reta e não há interseção finita (como se r fosse infinito).
  • Exemplo rápido de checagem: para \theta=\tfrac{\pi}{2} tem-se \sin\theta=1, \cos\theta=0, então
r = \dfrac{1}{1 - 0} = 1,
o que corresponde ao ponto (0,1) em cartesianas; verificando na reta: 2\cdot0 - 1 + 1 = 0, ok.

Resposta

r = -\dfrac{1}{2\cos\theta - \sin\theta}