Use as relações de mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas polares para obter a equação polar correspondente a cada equação cartesiana dada.
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Passo 1
O enunciado pede: usar as relações de mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas polares para obter a equação polar correspondente à equação cartesiana
Informações dadas:
- A equação cartesiana é
. - Não há outras informações numéricas.
O objetivo é reescrever essa reta em termos das variáveis polarese .
Passo 2
Lembrete (fórmula de mudança de coordenadas) — o que são
e
e como trocar:
-
é a distância do ponto até a origem. -
é o ângulo do raio vetor com o eixo positivo.
As relações que ligam cartesianas e polares são
Essas fórmulas valem para qualquer ponto representado nas duas coordenadas; vamos usá-las para substituir
e
na equação da reta.
Passo 3
Substituir
e
na equação dada usando as relações polares:
Passo 4
Fatorar
na expressão obtida:
Agora isolar
para obter a equação na forma
.
Passo 5
Resolvendo para
:
Uma forma equivalente, multiplicando numerador e denominador por
, é
Observações didáticas e úteis para a prova:
- Em geral, para uma reta
obtém-se , logo . - A expressão para
só é válida quando o denominador não é zero. Aqui o denominador se anula quando
ou seja,
para inteiro
. Nessas direções o raio é paralelo à reta e não há interseção finita (como se
fosse infinito).
- Exemplo rápido de checagem: para
tem-se , , então
o que corresponde ao ponto
em cartesianas; verificando na reta:
, ok.