Use as relações de mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas polares para obter a equação polar correspondente a cada equação cartesiana dada.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação cartesiana
e pede: obter a equação correspondente em coordenadas polares.
Informações relevantes fornecidas: a relação entre e
acima (nenhuma outra condição explícita sobre
foi dada).
Informações relevantes fornecidas: a relação entre
Passo 2
Vamos lembrar as relações de mudança de coordenadas (essas são as ferramentas que usamos para passar de cartesiano para polar). São:
onde
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo que o raio-vetor faz com o eixo
.
Explicando rápido: e
são as razões trigonométricas que dão as componentes horizontal e vertical do vetor de comprimento
.
Explicando rápido:
Passo 3
Substituímos
e
na equação dada por essas expressões. Fazendo a troca:
Passo 4
Expandimos os quadrados:
Observação importante para a prova: o caso
(o ponto na origem) satisfaz essa igualdade (0 = 0). Se dividirmos por
devemos estar cientes de que isso elimina a solução
; por isso tratamos separadamente
ou explicamos que estamos assumindo
ao cancelar
.
Passo 5
Para
podemos cancelar
em ambos os lados, obtendo
Passo 6
Reorganizando para expressar em função da tangente (lembre:
, válida quando
; se
então
e a igualdade abaixo não se verifica), multiplicamos ambos os lados por
e obtemos
Isso significa
As soluções em ângulo ficam, de forma geral,
Essas duas famílias de
correspondem às duas retas que passam pela origem dadas em cartesiano por
e
. Lembrete: o caso
(origem) também pertence ao lugar geométrico.
Passo 7
Resumo prático — formas equivalentes da equação em coordenadas polares que valem para todos os pontos da curva:
- forma trigonométrica:
(com livre; o ponto também é solução), - forma explícita de
: ou , .