Use as relações de mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas polares para obter a equação polar correspondente a cada equação cartesiana dada.
x^{2}=\frac{y^{2}}{4}.

Passo 1

O enunciado dá a equação cartesiana
x^{2}=\frac{y^{2}}{4}
e pede: obter a equação correspondente em coordenadas polares.
Informações relevantes fornecidas: a relação entre x e y acima (nenhuma outra condição explícita sobre x,y foi dada).

Passo 2

Vamos lembrar as relações de mudança de coordenadas (essas são as ferramentas que usamos para passar de cartesiano para polar). São:
x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo que o raio-vetor faz com o eixo x.
Explicando rápido: \cos\theta e \sin\theta são as razões trigonométricas que dão as componentes horizontal e vertical do vetor de comprimento r.

Passo 3

Substituímos x e y na equação dada por essas expressões. Fazendo a troca:
(r\cos\theta)^{2}=\frac{(r\sin\theta)^{2}}{4}.

Passo 4

Expandimos os quadrados:
r^{2}\cos^{2}\theta=\frac{r^{2}\sin^{2}\theta}{4}.
Observação importante para a prova: o caso r=0 (o ponto na origem) satisfaz essa igualdade (0 = 0). Se dividirmos por r^{2} devemos estar cientes de que isso elimina a solução r=0; por isso tratamos separadamente r=0 ou explicamos que estamos assumindo r\neq 0 ao cancelar r^{2}.

Passo 5

Para r\neq 0 podemos cancelar r^{2} em ambos os lados, obtendo
\cos^{2}\theta=\frac{\sin^{2}\theta}{4}.

Passo 6

Reorganizando para expressar em função da tangente (lembre: \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}, válida quando \cos\theta\neq 0; se \cos\theta=0 então \sin\theta=\pm1 e a igualdade abaixo não se verifica), multiplicamos ambos os lados por 4/\cos^{2}\theta e obtemos
\tan^{2}\theta=4.
Isso significa
\tan\theta=\pm 2.
As soluções em ângulo ficam, de forma geral,
\theta=\arctan(2)+k\pi \qquad\text{ou}\qquad \theta=-\arctan(2)+k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}.
Essas duas famílias de \theta correspondem às duas retas que passam pela origem dadas em cartesiano por y=2x e y=-2x. Lembrete: o caso r=0 (origem) também pertence ao lugar geométrico.

Passo 7

Resumo prático — formas equivalentes da equação em coordenadas polares que valem para todos os pontos da curva:
  • forma trigonométrica: \tan^{2}\theta=4 (com r livre; o ponto r=0 também é solução),
  • forma explícita de \theta: \theta=\arctan(2)+k\pi ou \theta=-\arctan(2)+k\pi, k\in\mathbb{Z}.

Resposta

\tan^{2}\theta=4
\theta=\arctan(2)+k\pi ou \theta=-\arctan(2)+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}