Use os resultados da Seção 20 para encontrar f^{\prime}(z) se
f(z)=\left(2 z^{2}+i\right)^{5};

Passo 1

O enunciado dá a função
f(z) = \bigl(2z^{2}+i\bigr)^{5}
e pede sua derivada f'(z). O que vamos usar é a regra da potência para funções compostas (regra da cadeia) no contexto de variáveis complexas.

Passo 2

Definimos a função interna
g(z) = 2z^{2} + i.
Como g(z) é polinomial, sua derivada é
g'(z) = \frac{d}{dz}\bigl(2z^{2}\bigr) + \frac{d}{dz}(i) = 4z + 0 = 4z.

Passo 3

Pela regra da cadeia aplicada à potência, temos
f'(z) = \frac{d}{dz}\bigl(g(z)^{5}\bigr) = 5\,g(z)^{4}\,\cdot g'(z).

Passo 4

Substituindo g(z) e g'(z) na expressão acima, resulta
f'(z) = 5\,(2z^{2}+i)^{4}\,\cdot(4z) = 20\,z\,(2z^{2}+i)^{4}.

Resposta

f'(z)=20\,z\,(2z^{2}+i)^{4}.

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