Use os resultados da Seção 20 para encontrar f^{\prime}(z) se
f(z)=\frac{\left(1+z^{2}\right)^{4}}{z^{2}} \quad(z \neq 0).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(z)=\frac{\bigl(1+z^{2}\bigr)^{4}}{z^{2}}\quad(z\neq0).
O conteúdo envolvido é a regra do produto e a regra da cadeia para diferenciais de potências de funções compostas.

Passo 2

Reescrevemos f como produto de duas funções mais simples:
f(z) = h(z)\,g(z),
onde
h(z)=\bigl(1+z^{2}\bigr)^{4}, \quad g(z)=z^{-2}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de h e g separadamente usando regra da cadeia e potência:
h'(z) =4\bigl(1+z^{2}\bigr)^{3}\cdot\frac{d}{dz}(1+z^{2}) =4\bigl(1+z^{2}\bigr)^{3}\cdot2z =8z\,\bigl(1+z^{2}\bigr)^{3},
g'(z) =\frac{d}{dz}\bigl(z^{-2}\bigr) =-2\,z^{-3}.

Passo 4

Aplicando a regra do produto f'=h'g+hg' e simplificando:
f'(z) =8z\,\bigl(1+z^{2}\bigr)^{3}\,z^{-2} \;+\;\bigl(1+z^{2}\bigr)^{4}\,(-2\,z^{-3})
\phantom{f'(z)} =8\,\bigl(1+z^{2}\bigr)^{3}z^{-1} -2\,\bigl(1+z^{2}\bigr)^{4}z^{-3}
\phantom{f'(z)} =\frac{8\,(1+z^{2})^{3}z^{2}-2\,(1+z^{2})^{4}}{z^{3}} =\frac{2\,(1+z^{2})^{3}\bigl(4z^{2}-(1+z^{2})\bigr)}{z^{3}}
\phantom{f'(z)} =\frac{2\,(1+z^{2})^{3}\,(3z^{2}-1)}{z^{3}}.

Resposta

f'(z)=\frac{2\,(3z^{2}-1)\,(1+z^{2})^{3}}{z^{3}}.

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