Use os resultados da Seção 20 para encontrar f^{\prime}(z) se
f(z)=\frac{z-1}{2 z+1} \quad\left(z \neq-\frac{1}{2}\right);

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(z)=\frac{z-1}{2z+1},\quad z\neq -\tfrac12
usando os resultados da Seção 20, que inclui a regra do quociente. Vamos lembrar que, para
f(z)=\frac{u(z)}{v(z)},
vale
f'(z)=\frac{u'(z)\,v(z)-u(z)\,v'(z)}{[v(z)]^2}.

Passo 2

Identificamos as partes:
u(z)=z-1,\quad v(z)=2z+1.
Como a derivada de z é 1 e de uma constante é 0, temos
u'(z)=1,\quad v'(z)=2.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente:
f'(z) =\frac{u'(z)\,v(z)-u(z)\,v'(z)}{[v(z)]^2} =\frac{1\cdot(2z+1)-(z-1)\cdot2}{(2z+1)^2}.
No numerador:
2z+1-2z+2=3.
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f'(z)=\frac{3}{(2z+1)^2}.

Resposta

f'(z)=\frac{3}{(2z+1)^2}.

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