Use a série binomial para expandir a função como uma série de potências: a) f(x) = raiz(1 + x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que usar a série binomial pra expandir a função em uma série de potências. Isso significa que vamos reescrever essa raiz quadrada como uma soma infinita de termos com potências de . Para isso, precisamos entender a fórmula da série binomial e como aplicá-la quando o expoente não é um número inteiro.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da série binomial para qualquer expoente , que é:
Onde são os coeficientes binomiais, calculados por:
No nosso caso, porque .

Passo 3

Vamos calcular os primeiros coeficientes binomiais para :
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos montar a série usando esses coeficientes:
Substituindo os valores que calculamos:

Resposta

A expansão da função usando a série binomial é:

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