Use série de potências para calcular as seguintes integrais. Verifique se as séries resultantes satisfazem o Critério de Leibniz e então estime o valor das integrais com erro inferior à E=10^-2.
a) integral0^1 / 5 11+x^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando séries de potências. A matéria aqui envolve séries de potências e integração de séries. Para isso, vamos precisar transformar a função em uma série de potências e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série geométrica básica: 11 + x^4 = 11 - (-x^4) = sumn=0^infty (-x^4)^n = sumn=0^infty (-1)^n x^4n , onde . Nossa função é , que pode ser escrita como . Assim, podemos aplicar a série geométrica com :

Passo 3

Agora que temos a série de potências, vamos integrar termo a termo dentro do intervalo de 0 a integral0^1/5 11+x^4 , dx = integral0^1/5 sumn=0^infty (-1)^n x^4n , dx = sumn=0^infty (-1)^n integral0^1/5 x^4n , dx :
integral x^4n , dx = x^4n+14n+1
A integração de sumn=0^infty (-1)^n [ (1/5)^4n+14n+1 - 0 ] = sumn=0^infty (-1)^n4n+1 ( 15 )^4n+1 é simples:
Então, substituindo os limites:

Passo 4

Agora temos a série resultante:
sumn=0^infty (-1)^n4n+1 ( 15 )^4n+1
Vamos verificar se essa série satisfaz o Critério de Leibniz, que diz que uma série alternada converge se for decrescente e tender a zero. Aqui, , que claramente é positivo, decrescente e tende a zero quando vai para o infinito. Então, a série converge pelo Critério de Leibniz.

Passo 5

Agora, para estimar o valor da integral com erro menor que 11 ( 15 )^1 = 15 = 0,2 , precisamos somar os termos da série até que o próximo termo seja menor que -15 ( 15 )^5 = -15 times 13125 = -115625 approx -0,000064 . Vamos calcular os termos até que 0,2 - 0,000064 approx 0,199936 .
Vamos calcular alguns termos:
Para :
Para :
O próximo termo já é menor que , então podemos parar aqui. A soma dos primeiros dois termos é:
Como o segundo termo é menor que , a estimativa da integral com erro inferior a é aproximadamente .

Resposta

A estimativa da integral com erro inferior a é aproximadamente .

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