Use séries geométricas para mostrar que
\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} x^{k}=\frac{1}{1+x} \quad se -1<x<1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}x^{k}
é uma série geométrica que converge para \tfrac1{1+x} sob a condição que -1<x<1. Vamos usar a fórmula da soma de uma série geométrica e a condição de convergência |r|<1.

Passo 2

Identificamos o primeiro termo e a razão da série geométrica. O termo geral é
(-1)^{k}x^{k}=(\underbrace{(-1)\,x}_{r})^{k},
logo o primeiro termo é a_0=1 e a razão é
r=-x.
Assim podemos escrever
\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}x^{k} \;=\;\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}.

Passo 3

Pela fórmula da soma de uma série geométrica, temos
\sum_{k=0}^{\infty}r^{k} = \frac{1}{1 - r} \quad\text{para}\quad |r|<1.
Como r=-x, a condição |r|<1 é |x|<1, ou seja, -1<x<1. Substituindo r=-x na fórmula,
\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}x^{k} =\frac{1}{1-(-x)} =\frac{1}{1+x}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{1+x} para -1<x<1.

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