Use o Teo.de Green para calcular o trabalho total realizado pelo campo de forças \vec{F} ao mover uma partícula no sentído anti-horário em torno da curva C para:
\vec{F}(x, y)=(3 x+y) \widehat{i}+(4 x-5 y) \widehat{j},onde C é a elipse x^{2}+4 y^{2}=16

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pelo campo \vec{F}(x,y)=(3x+y)\,\hat{\imath}+(4x-5y)\,\hat{\jmath} ao longo da curva fechada C\colon x^2+4y^2=16 no sentido anti-horário. Vamos aplicar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de C com uma integral dupla sobre a região D interior a C.

Passo 2

Identificamos as componentes
P(x,y)=3x+y, \quad Q(x,y)=4x-5y.
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial Q}{\partial x}=4, \quad \frac{\partial P}{\partial y}=1,
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\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=4-1=3.

Passo 3

Pelo Teorema de Green,
\oint_C P\,dx+Q\,dy = \iint_D\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA = \iint_D 3\,dA = 3\iint_D dA = 3\,\text{Área}(D).Á

Passo 4

A região D é o interior da elipse x^2/16+y^2/4=1, cujos semi-eixos valem a=4 e b=2. Portanto
\text{Área}(D)=\pi\,a\,b=\pi\cdot4\cdot2=8\pi.Á

Passo 5

Substituindo na integral,
\oint_C\vec F\cdot d\vec r =3\times8\pi=24\pi.

Resposta

O trabalho total efetuado pelo campo ao redor de C é 24\pi.

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