Use o Teorema da Comparação com
para mostrar que
é convergente.
Passo 1
Vamos analisar o exercício que nos foi dado. Precisamos usar o Teorema da Comparação com a função
para demonstrar que a integral
é convergente. O conteúdo envolvido aqui é o estudo de integrais e a aplicação do Teorema da Comparação para verificar a convergência de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Comparação. Esse teorema nos permite comparar duas funções para determinar a convergência ou divergência de suas integrais. Especificamente, se temos duas funções positivas
e
definidas em um intervalo
e
para todo
nesse intervalo, então:
- Se
é convergente, então também é convergente.
Passo 3
No nosso caso,
e queremos comparar com
. Para aplicar o Teorema da Comparação, precisamos verificar que
no intervalo de integração
.
Passo 4
Assumindo que
para todo
em
, podemos então calcular a integral de
:
Passo 5
Vamos calcular essa integral:
Aplicando os limites de integração:
Isso nos dá um valor finito, portanto, a integral de
é convergente.
Passo 6
De acordo com o Teorema da Comparação, já que
é convergente e
no intervalo considerado, segue que
também é convergente.
Resposta
Portanto, usando o Teorema da Comparação com
, concluímos que a integral
é convergente.