Use o teorema do confronto para calcular:
Passo 1
O que o problema pede e o que está dado.
- Pedido: calcular
. - Informação útil do enunciado: aparece
, e sabe-se que a função cosseno é limitada entre e . - Objetivo nesta resolução: usar o Teorema do Confronto (também chamado de Teorema da Sanduíche ou Squeeze Theorem) para encontrar o limite.
Passo 2
Enunciado do Teorema do Confronto (explicado de forma simples).
Se existem funções
tais que, para
próximos de
(exceto possivelmente em
),
e se
então
Ideia intuitiva: se uma função fica sempre entre duas outras que tendem ao mesmo valor
, ela é “apertada” (squeezed) para esse mesmo valor.
Passo 3
Usar uma propriedade básica do cosseno.
Sabemos que, para todo número real
,
Aplicando isso com
(válido para todo
), obtemos
Essa desigualdade vale para todos os
próximos de
(exceto
, onde a expressão
não está definida).
Passo 4
Multiplicar a desigualdade pelo fator
.
Como
para todo
, ao multiplicar a desigualdade do passo anterior por
a direção das desigualdades não se inverte. Assim, para
,
Essa é a “sanduíche” que vamos usar: a função que interessa está entre
e
.
Passo 5
Calcular os limites das funções que formam os “pães” da sanduíche.
As funções
e
são polinômios simples; ao
temos
Explicação rápida:
vai para
quando
vai para
; multiplicar por
só muda o sinal, então o limite também é
.
Passo 6
Aplicar o Teorema do Confronto.
Temos, para
próximos de
,
e ambos os limites dos “pães” são iguais a
. Pelo Teorema do Confronto, a função do meio tem o mesmo limite quando
.
Passo 7
Comentário didático e dica para a prova.
- Estratégia típica: quando aparecer um fator que vai para
multiplicando uma função oscilante limitada (como ou ), normalmente dá para aplicar o Teorema do Confronto mostrando uma desigualdade do tipo . - Exemplo similar:
, porque e assim e .