Use o teorema do confronto para calcular:
\lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \cos \left(\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O que o problema pede e o que está dado.
  • Pedido: calcular \lim_{x\to 0} x^{2}\cos\!\left(\frac{1}{x}\right).
  • Informação útil do enunciado: aparece \cos\!\left(\frac{1}{x}\right), e sabe-se que a função cosseno é limitada entre -1 e 1.
  • Objetivo nesta resolução: usar o Teorema do Confronto (também chamado de Teorema da Sanduíche ou Squeeze Theorem) para encontrar o limite.

Passo 2

Enunciado do Teorema do Confronto (explicado de forma simples).
Se existem funções f,g,h tais que, para x próximos de a (exceto possivelmente em a),
f(x)\le g(x)\le h(x),
e se
\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L,
então
\lim_{x\to a} g(x)=L.
Ideia intuitiva: se uma função fica sempre entre duas outras que tendem ao mesmo valor L, ela é “apertada” (squeezed) para esse mesmo valor.

Passo 3

Usar uma propriedade básica do cosseno.
Sabemos que, para todo número real t,
-1\le \cos(t)\le 1.
Aplicando isso com t=\dfrac{1}{x} (válido para todo x\neq0), obtemos
-1 \le \cos\!\left(\frac{1}{x}\right)\le 1.
Essa desigualdade vale para todos os x próximos de 0 (exceto x=0, onde a expressão \cos(1/x) não está definida).

Passo 4

Multiplicar a desigualdade pelo fator x^{2}.
Como x^{2}\ge 0 para todo x, ao multiplicar a desigualdade do passo anterior por x^{2} a direção das desigualdades não se inverte. Assim, para x\neq0,
-x^{2} \le x^{2}\cos\!\left(\frac{1}{x}\right) \le x^{2}.
Essa é a “sanduíche” que vamos usar: a função que interessa está entre -x^{2} e x^{2}.

Passo 5

Calcular os limites das funções que formam os “pães” da sanduíche.
As funções -x^{2} e x^{2} são polinômios simples; ao x\to 0 temos
\lim_{x\to 0} -x^{2} = 0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0} x^{2} = 0.
Explicação rápida: x^{2} vai para 0 quando x vai para 0; multiplicar por -1 só muda o sinal, então o limite também é 0.

Passo 6

Aplicar o Teorema do Confronto.
Temos, para x próximos de 0,
-x^{2} \le x^{2}\cos\!\left(\frac{1}{x}\right) \le x^{2},
e ambos os limites dos “pães” são iguais a 0. Pelo Teorema do Confronto, a função do meio tem o mesmo limite quando x\to 0.

Passo 7

Comentário didático e dica para a prova.
  • Estratégia típica: quando aparecer um fator que vai para 0 multiplicando uma função oscilante limitada (como \sin ou \cos), normalmente dá para aplicar o Teorema do Confronto mostrando uma desigualdade do tipo -(\text{pequeno}) \le (\text{expressão}) \le (\text{pequeno})ã.
  • Exemplo similar: \lim_{x\to 0} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)=0, porque -1\le\sin(1/x)\le1 e assim -|x|\le x\sin(1/x)\le |x| e \lim_{x\to0}\pm|x|=0.

Resposta

0

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