Use o Teorema do Confronto para calcular os limites abaixo.
(b) lim x 0 3 x^2 tg(7x)2 x+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de uma função quando se aproxima de 0. O exercício usa o Teorema do Confronto, que ajuda a encontrar limites usando funções que estão “presas” entre duas outras. Aqui, vamos precisar entender como a função tangente se comporta e como manipular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte complicada da função: -1 <= tan(7x) <= 1 . A tangente pode oscilar bastante, mas a gente sabe que ela está sempre entre determinados valores. De fato, para todo , temos:
Esse intervalo é crucial para aplicar o Teorema do Confronto.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar tudo pela parte que está na frente da tangente, que é - 3x^22x + 1 <= 3x^2 tan(7x)2x + 1 <= 3x^22x + 1 . Então, multiplicando as desigualdades:
Isso nos dá uma “faixa” dentro da qual a nossa função está presa.

Passo 4

Agora, vamos calcular os limites das duas extremidades quando limx to 0 -3x^22x + 1 = 0 se aproxima de 0:
limx to 0 3x^22x + 1 = 0
Ambos os limites são 0.

Passo 5

Como a nossa função está entre duas funções que têm limite 0 quando tende a 0, pelo Teorema do Confronto, o limite da nossa função também é 0.

Resposta

limx to 0 3x^2 tan(7x)2x + 1 = 0

Exercícios relacionados