Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as integrais abaixo:
\int_{\frac{-\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-\pi/3}^{\pi/2} \cos^{2}(x)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \cos^{2}(x).
  • O intervalo de integração é de x=-\pi/3 até x=\pi/2.
  • A resposta pedida é o valor numérico (exato) dessa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a função \cos^{2}(x) numa forma mais fácil de integrar. Há uma identidade trigonométrica chamada identidade do cosseno de ângulo duplo:
\cos(2x)=2\cos^{2}(x)-1.
Isolando \cos^{2}(x) obtemos a fórmula de redução de potência:
\cos^{2}(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}.
Explicando devagar: essa identidade vem da fórmula para \cos(2x); reorganizando-a a gente escreve \cos^{2}(x) como uma mistura de uma constante 1/2 e de \cos(2x)/2. Isso torna a integral simples porque integra-se facilmente constantes e funções do tipo \cos(kx).

Passo 3

Substituindo a identidade na integral e usando linearidade da integral (ou seja, \int (a+b)=\int a + \int b e \int c\cdot f = c\int f):
\int_{-\pi/3}^{\pi/2} \cos^{2}(x)\,dx = \int_{-\pi/3}^{\pi/2} \frac{1+\cos(2x)}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi/3}^{\pi/2} 1\,dx + \frac{1}{2}\int_{-\pi/3}^{\pi/2} \cos(2x)\,dx.

Passo 4

Agora precisamos de uma primitiva (antiderivada) de cada termo. Lembre:
  • \displaystyle \int 1\,dx = x + C.
  • \displaystyle \int \cos(ax)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax) + C (porque derivando \sin(ax) aparece um fator a).
Aplicando isso:
\frac{1}{2}\int 1\,dx = \frac{1}{2}x, \qquad \frac{1}{2}\int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{4}\sin(2x).
Portanto uma primitiva para \cos^{2}(x) é
F(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\sin(2x).
Como verificação rápida: derivando F(x) obtém-se \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}\cdot 2\cos(2x)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\cos(2x)=\cos^{2}(x), ok.

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é F(\pi/2)-F(-\pi/3). Calculamos cada termo:
F\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}+\frac{1}{4}\sin\big(2\cdot\frac{\pi}{2}\big) =\frac{\pi}{4}+\frac{1}{4}\sin(\pi) =\frac{\pi}{4}+0 =\frac{\pi}{4}.
Para o outro extremo:
F\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{\pi}{3}\right)+\frac{1}{4}\sin\big(2\cdot\big(-\frac{\pi}{3}\big)\big) =-\frac{\pi}{6}+\frac{1}{4}\sin\!\left(-\frac{2\pi}{3}\right).
Sabendo que \sin\!\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-\sin\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}, tem-se
F\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\pi}{6}+\frac{1}{4}\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =-\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{8}.

Passo 6

Subtraindo:
\int_{-\pi/3}^{\pi/2} \cos^{2}(x)\,dx =F\!\left(\frac{\pi}{2}\right)-F\!\left(-\frac{\pi}{3}\right) =\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{8}\right) =\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt{3}}{8}.
Somando as frações com \pi:
\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}=\frac{3\pi+2\pi}{12}=\frac{5\pi}{12}.
Portanto o resultado final é
\frac{5\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{5\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{8}