Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - O intervalo de integração é de
até . - A resposta pedida é o valor numérico (exato) dessa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a função
numa forma mais fácil de integrar. Há uma identidade trigonométrica chamada identidade do cosseno de ângulo duplo:
Isolando
obtemos a fórmula de redução de potência:
Explicando devagar: essa identidade vem da fórmula para
; reorganizando-a a gente escreve
como uma mistura de uma constante
e de
. Isso torna a integral simples porque integra-se facilmente constantes e funções do tipo
.
Passo 3
Substituindo a identidade na integral e usando linearidade da integral (ou seja,
e
):
Passo 4
Agora precisamos de uma primitiva (antiderivada) de cada termo. Lembre:
-
. -
(porque derivando aparece um fator ).
Aplicando isso:
Portanto uma primitiva para
é
Como verificação rápida: derivando
obtém-se
, ok.
Passo 5
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é
. Calculamos cada termo:
Para o outro extremo:
Sabendo que
, tem-se
Passo 6
Subtraindo:
Somando as frações com
:
Portanto o resultado final é