Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior).
Passo 2
Vamos simplificar a expressão usando uma mudança de variável adequada. A ideia é eliminar o fator
dentro do logaritmo para trabalhar com
direto, o que é mais fácil de integrar.
Fazemos a substituição
Então
Troca dos limites:
Substituindo na integral,
Passo 3
Agora precisamos calcular a integral
Para isso usamos o método de integração por partes. O teorema de integração por partes (fórmula) diz que, para funções
e
,
ou na forma usual
Escolhemos de forma conveniente:
Então
Aplicando a fórmula,
Passo 4
Precisamos agora calcular
. Usamos integração por partes de novo, escolhendo
logo
Aplicando a fórmula,
Voltando à expressão anterior,
Passo 5
Agora aplicamos a primitiva encontrada ao cálculo da integral definida de
a
:
Avaliaremos em
e
:
Para
:
, então
Para
:
, então
Portanto
Passo 6
Lembrando que a integral original vale
dessa quantidade (ver Passo 2), obtemos