Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as integrais abaixo:
\int_{1 / 3}^{e / 3} \ln ^{2}(3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{1/3}^{e/3} \ln^{2}(3x)\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \ln^{2}(3x).
  • Os limites de integração são x=1/3 (inferior) e x=e/3 (superior).

Passo 2

Vamos simplificar a expressão usando uma mudança de variável adequada. A ideia é eliminar o fator 3 dentro do logaritmo para trabalhar com \ln u direto, o que é mais fácil de integrar.
Fazemos a substituição
u=3x.
Então
du=3\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{3}.
Troca dos limites:
x=\frac{1}{3}\Rightarrow u=3\cdot\frac{1}{3}=1, \qquad x=\frac{e}{3}\Rightarrow u=3\cdot\frac{e}{3}=e.
Substituindo na integral,
\int_{1/3}^{e/3}\ln^{2}(3x)\,dx = \int_{u=1}^{u=e} \ln^{2}(u)\cdot\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int_{1}^{e} \ln^{2}(u)\,du.

Passo 3

Agora precisamos calcular a integral
\int_{1}^{e}\ln^{2}(u)\,du.
Para isso usamos o método de integração por partes. O teorema de integração por partes (fórmula) diz que, para funções f e g,
\int f'(u)g(u)\,du = f(u)g(u) - \int f(u)g'(u)\,du,
ou na forma usual
\int A(u)B'(u)\,du = A(u)B(u) - \int A'(u)B(u)\,du.
Escolhemos de forma conveniente:
A(u)=(\ln u)^{2},\qquad B'(u)=1.
Então
A'(u)=2\ln u\cdot\frac{1}{u}=\frac{2\ln u}{u}, \qquad B(u)=u.
Aplicando a fórmula,
\int \ln^{2}(u)\,du = u\ln^{2}(u) - \int u\cdot\frac{2\ln u}{u}\,du = u\ln^{2}(u) - 2\int \ln u\,du.

Passo 4

Precisamos agora calcular \int \ln u\,du. Usamos integração por partes de novo, escolhendo
A(u)=\ln u,\qquad B'(u)=1,
logo
A'(u)=\frac{1}{u},\qquad B(u)=u.
Aplicando a fórmula,
\int \ln u\,du = u\ln u - \int u\cdot\frac{1}{u}\,du = u\ln u - \int 1\,du = u\ln u - u + C.
Voltando à expressão anterior,
\int \ln^{2}(u)\,du = u\ln^{2}(u) - 2\big(u\ln u - u\big) + C = u\big(\ln^{2}(u) - 2\ln u + 2\big) + C.

Passo 5

Agora aplicamos a primitiva encontrada ao cálculo da integral definida de 1 a e:
\int_{1}^{e}\ln^{2}(u)\,du = \Big[\,u\big(\ln^{2}(u) - 2\ln u + 2\big)\,\Big]_{1}^{e}.
Avaliaremos em u=e e u=1:
Para u=e: \ln e = 1, então
e\big(\ln^{2}(e) - 2\ln e + 2\big) = e\big(1 - 2 + 2\big) = e\cdot 1 = e.
Para u=1: \ln 1 = 0, então
1\big(\ln^{2}(1) - 2\ln 1 + 2\big) = 1\cdot 2 = 2.
Portanto
\int_{1}^{e}\ln^{2}(u)\,du = e - 2.

Passo 6

Lembrando que a integral original vale \dfrac{1}{3} dessa quantidade (ver Passo 2), obtemos
\int_{1/3}^{e/3}\ln^{2}(3x)\,dx = \frac{1}{3}\big(e-2\big).

Resposta

\dfrac{e-2}{3}