Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as seguintes integrais ou explique porque elas não existem:
j)
j)
Passo 1
O enunciado pede para calcular ou justificar a não existência da integral definida
Informações dadas:
- A função integranda é
. - O intervalo de integração é
. - A instrução é usar o Teorema Fundamental do Cálculo ou explicar por que a integral não existe.
Passo 2
Verificar se a integral é propriamente definida (ou seja, se a função é contínua no intervalo).
- A função
pode ser escrita como . - Para
a raiz quadrada está bem definida e não é zero no denominador, portanto é contínua em qualquer intervalo contido em . - Como o intervalo
está contido em , a função é contínua em todo . Logo, a integral é própria e existe — podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 3
Lembrar e explicar o Teorema Fundamental do Cálculo (versão usada):
- Se
é contínua em e é uma antiderivada de (ou seja, para todo em ), então
- Aqui
. Precisamos achar uma função tal que . Essa é chamada antiderivada ou primitiva.
Passo 4
Encontrar a antiderivada usando a regra da potência para integrais:
- A regra da potência diz que, para
,
onde
é a constante de integração.
- No nosso caso
. Substituindo:
- Assim uma antiderivada é
. Podemos checar diferenciando: , ok.
Passo 5
Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo avaliando
em
e em
:
Calcular as raízes:
Portanto