Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as seguintes integrais ou explique porque elas não existem:
j) \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}}} \mathrm{dx}

Passo 1

O enunciado pede para calcular ou justificar a não existência da integral definida
\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}}}\,\mathrm{dx}.
Informações dadas:
  • A função integranda é \displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}}}.
  • O intervalo de integração é [1,4].
  • A instrução é usar o Teorema Fundamental do Cálculo ou explicar por que a integral não existe.

Passo 2

Verificar se a integral é propriamente definida (ou seja, se a função é contínua no intervalo).
  • A função \displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}}} pode ser escrita como \mathrm{x}^{-1/2}.
  • Para \mathrm{x}>0 a raiz quadrada está bem definida e não é zero no denominador, portanto \mathrm{x}^{-1/2} é contínua em qualquer intervalo contido em (0,\infty).
  • Como o intervalo [1,4] está contido em (0,\infty), a função é contínua em todo [1,4]. Logo, a integral é própria e existe — podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 3

Lembrar e explicar o Teorema Fundamental do Cálculo (versão usada):
  • Se f é contínua em [a,b] e F é uma antiderivada de f (ou seja, F'(x)=f(x) para todo x em [a,b]), então
\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{dx}=F(b)-F(a).
  • Aqui f(x)=\mathrm{x}^{-1/2}. Precisamos achar uma função F tal que F'(x)=\mathrm{x}^{-1/2}. Essa F é chamada antiderivada ou primitiva.

Passo 4

Encontrar a antiderivada usando a regra da potência para integrais:
  • A regra da potência diz que, para n\neq -1,
\int \mathrm{x}^{n}\,\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{x}^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração.
  • No nosso caso n=-\tfrac{1}{2}. Substituindo:
\int \mathrm{x}^{-1/2}\,\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{x}^{-1/2+1}}{-1/2+1}+C=\frac{\mathrm{x}^{1/2}}{1/2}+C=2\,\mathrm{x}^{1/2}+C.
  • Assim uma antiderivada é F(x)=2\sqrt{\mathrm{x}}. Podemos checar diferenciando: F'(x)=2\cdot\frac{1}{2}\mathrm{x}^{-1/2}=\mathrm{x}^{-1/2}, ok.

Passo 5

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo avaliando F em 4 e em 1:
\int_{1}^{4}\frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}}}\,\mathrm{dx}=F(4)-F(1)=2\sqrt{4}-2\sqrt{1}.
Calcular as raízes:
\sqrt{4}=2,\qquad \sqrt{1}=1.
Portanto
2\sqrt{4}-2\sqrt{1}=2\cdot 2-2\cdot 1=4-2=2.

Resposta

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