Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
C é o limite da região entre os círculos x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4

Passo 1

O enunciado dá o contorno C da região anelar (entre dois círculos) e pede para calcular a integral de linha ao longo de C usando o Teorema de Green. Informações que temos:
  • A curva C é o limite da região D entre os círculos \,x^{2}+y^{2}=1 (raio 1) e \,x^{2}+y^{2}=4 (raio 2).
  • A orientação é positiva (sentido anti-horário).
  • O enunciado NÃO fornece o campo vetorial (isto é, as funções P(x,y) e Q(x,y) que aparecem na integral de linha do tipo \displaystyle \oint_{C}P\,dx+Q\,dy).
O que o enunciado pede: calcular \displaystyle \oint_{C}P\,dx+Q\,dy usando o Teorema de Green. Observação crucial: sem conhecer P e Q não é possível obter um valor numérico. Vou explicar exatamente o que o Teorema de Green exige e como aplicar ao caso do anel, e dar exemplos concretos para que você saiba fazer na prova caso o campo seja dado.

Passo 2

Enunciado e interpretação do Teorema de Green (a “ferramenta” que vamos usar).
  • Teorema de Green (forma plana): se P e Q têm derivadas parciais contínuas numa região que contém D e sua fronteira C, então
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
  • Significado das quantidades:
    • \frac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x;
    • \frac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y;
    • dA é o elemento de área no plano (em coordenadas cartesianas dA=dx\,dy).
  • Em linguagem simples: a integral de linha ao redor da fronteira vira uma integral dupla sobre a região interior do rotacional planar \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}.

Passo 3

Como parametrizar a região D (o anel) para a integral dupla — usar coordenadas polares.
  • A região D é naturalmente descrita em coordenadas polares por
1\le r\le 2,\qquad 0\le\theta\le 2\pi.
  • Em polares as relações são x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e o elemento de área é dA=r\,dr\,d\theta.
  • Assim, aplicando Green, a integral de linha se transforma em
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}(r\cos\theta,r\sin\theta)-\frac{\partial P}{\partial y}(r\cos\theta,r\sin\theta)\right)r\,dr\,d\theta.
  • Observação prática: para avaliar essa integral dupla, primeiro compute \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} em termos de x,y; depois substitua x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e integre com o fator r.

Passo 4

Exemplos concretos para treinar (mostram como proceder na prova quando P e Q forem dados).
Exemplo A — campo rotacional constante:
  • Suponha P(x,y)=-y e Q(x,y)=x.
  • Calcule as parciais: \frac{\partial Q}{\partial x}=1,\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=-1.Então \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1-(-1)=2.
  • Aplicando Green: \oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}2\,dA = 2\cdot\operatorname{Area}(D).A área do anel é \pi(2^{2}-1^{2})=\pi(4-1)=3\pi. Logo \oint_{C}P\,dx+Q\,dy = 2\cdot 3\pi = 6\pi.Esse exemplo mostra a técnica: calcular o integrando (a diferença das parciais), ver se é constante; se for, basta multiplicar pela área do anel.
Exemplo B — integrando em polares quando integrando depende de r:
  • Suponha \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=r (expressão já em função de r). Então \oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2} r\cdot r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2} r^{2}\,dr\,d\theta.Calcule a integral em r: \int_{1}^{2} r^{2}\,dr=\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{1}^{2}=\frac{8-1}{3}=\frac{7}{3}.Depois em \theta: \int_{0}^{2\pi}\frac{7}{3}\,d\theta=\frac{7}{3}\cdot 2\pi=\frac{14\pi}{3}.Assim seria o valor da integral de linha nesse caso.

Passo 5

Conclusão prática para o enunciado fornecido: não há como dar um valor numérico específico sem o campo vetorial.
  • O enunciado NÃO fornece P(x,y) e Q(x,y); portanto não é possível calcular um valor numérico para \displaystyle \oint_{C}P\,dx+Q\,dy.
  • O que posso afirmar de forma correta e útil para a prova é a fórmula geral para este caso:
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}(r\cos\theta,r\sin\theta)-\frac{\partial P}{\partial y}(r\cos\theta,r\sin\theta)\right)r\,dr\,d\theta,
que é exatamente o que se aplicaria quando P e Q forem informados.

Resposta

Não é possível calcular a integral porque o campo vetorial P(x,y), Q(x,y) não foi fornecido.