Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
é o limite da região entre os círculos
e
Passo 1
O enunciado dá o contorno
da região anelar (entre dois círculos) e pede para calcular a integral de linha ao longo de
usando o Teorema de Green. Informações que temos:
- A curva
é o limite da região entre os círculos (raio ) e (raio ). - A orientação é positiva (sentido anti-horário).
- O enunciado NÃO fornece o campo vetorial (isto é, as funções
e que aparecem na integral de linha do tipo ).
O que o enunciado pede: calcular
usando o Teorema de Green. Observação crucial: sem conhecer
e
não é possível obter um valor numérico. Vou explicar exatamente o que o Teorema de Green exige e como aplicar ao caso do anel, e dar exemplos concretos para que você saiba fazer na prova caso o campo seja dado.
Passo 2
Enunciado e interpretação do Teorema de Green (a “ferramenta” que vamos usar).
- Teorema de Green (forma plana): se
e têm derivadas parciais contínuas numa região que contém e sua fronteira , então
- Significado das quantidades:
-
é a derivada parcial de em relação a ; -
é a derivada parcial de em relação a ; -
é o elemento de área no plano (em coordenadas cartesianas ).
-
- Em linguagem simples: a integral de linha ao redor da fronteira vira uma integral dupla sobre a região interior do rotacional planar
.
Passo 3
Como parametrizar a região
(o anel) para a integral dupla — usar coordenadas polares.
- A região
é naturalmente descrita em coordenadas polares por
- Em polares as relações são
, e o elemento de área é . - Assim, aplicando Green, a integral de linha se transforma em
- Observação prática: para avaliar essa integral dupla, primeiro compute
em termos de ; depois substitua , e integre com o fator .
Passo 4
Exemplos concretos para treinar (mostram como proceder na prova quando
e
forem dados).
Exemplo A — campo rotacional constante:
- Suponha
e . - Calcule as parciais:
Então - Aplicando Green:
A área do anel é . Logo Esse exemplo mostra a técnica: calcular o integrando (a diferença das parciais), ver se é constante; se for, basta multiplicar pela área do anel.
Exemplo B — integrando em polares quando integrando depende de
:
- Suponha
(expressão já em função de ). Então Calcule a integral em : Depois em : Assim seria o valor da integral de linha nesse caso.
Passo 5
Conclusão prática para o enunciado fornecido: não há como dar um valor numérico específico sem o campo vetorial.
- O enunciado NÃO fornece
e ; portanto não é possível calcular um valor numérico para . - O que posso afirmar de forma correta e útil para a prova é a fórmula geral para este caso:
que é exatamente o que se aplicaria quando
e
forem informados.
Resposta
Não é possível calcular a integral porque o campo vetorial
,
não foi fornecido.