Use o teorema de Green para calcular oint_{C} \mathbf{F} \cdot \mathbf{t} d l, nos seguintes casos:
\mathbf{F}(x, y)=\left(y e^{x^{2}}+\cos \left(x^{2}\right)\right) \mathbf{i}+\left(x^{2}-\tan \left(y^{2}\right)\right) \mathbf{j}, e C é a fronteira do triângulo dado pelos pontos (0,0),(1,0) e (1,1) orientado no sentido antihorário.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot\mathbf{t}\,dl
para \mathbf{F}(x,y)=\bigl(y e^{x^{2}}+\cos(x^{2})\bigr)\,\mathbf{i}+\bigl(x^{2}-\tan(y^{2})\bigr)\,\mathbf{j} e C sendo a fronteira, no sentido anti-horário, do triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (1,1).
Como é um campo definido num domínio simplesmente conexo, podemos usar o Teorema de Green que diz
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy \;=\;\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=y e^{x^{2}}+\cos(x^{2}), \quad Q(x,y)=x^{2}-\tan(y^{2}).
Logo, calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x}=2x, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=e^{x^{2}}.
Então o integrando fica
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =2x - e^{x^{2}}.

Passo 3

O domínio D é o triângulo onde x varia de 0 a 1 e, para cada x, y varia de 0 até a reta y=x. Assim o integral duplo é
\iint_{D}(2x-e^{x^{2}})\,dA =\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{x}(2x-e^{x^{2}})\,dy\,dx.

Passo 4

Integramos primeiro em y, que traz um fator x:
\int_{y=0}^{x}(2x-e^{x^{2}})\,dy =(2x-e^{x^{2}})\,x =2x^{2}-x e^{x^{2}}.
Então o integral em x é
\int_{0}^{1}\bigl(2x^{2}-x e^{x^{2}}\bigr)\,dx =\underbrace{\int_{0}^{1}2x^{2}\,dx}_{2/3} \;-\;\underbrace{\int_{0}^{1}x e^{x^{2}}\,dx}_{\tfrac{1}{2}(e-1)}.

Passo 5

Calculando cada parte temos
\int_{0}^{1}2x^{2}\,dx=\frac{2}{3}, \qquad \int_{0}^{1}x e^{x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\bigl(e-1\bigr).
Portanto
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot\mathbf{t}\,dl =\frac{2}{3}-\frac{1}{2}(e-1) =\frac{7}{6}-\frac{e}{2}.

Resposta

\frac{7}{6}-\frac{e}{2}

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