Use o teorema de Green para calcular
, nos seguintes casos:
, e
é a fronteira do triângulo dado pelos pontos
e
orientado no sentido antihorário.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
para
e
sendo a fronteira, no sentido anti-horário, do triângulo com vértices
,
e
.
Como é um campo definido num domínio simplesmente conexo, podemos usar o Teorema de Green que diz
Como é um campo definido num domínio simplesmente conexo, podemos usar o Teorema de Green que diz
Passo 2
Identificamos
Logo, calculamos as derivadas parciais:
Então o integrando fica
Passo 3
O domínio
é o triângulo onde
varia de
a
e, para cada
,
varia de
até a reta
. Assim o integral duplo é
Passo 4
Integramos primeiro em
, que traz um fator
:
Então o integral em
é
Passo 5
Calculando cada parte temos
Portanto