1. Use o Teorema de Green na forma da Equação 13 para demonstrar a primeira identidade de Green:
\iint_{D} f \nabla^{2} g d A=\oint_{C} f(\nabla g) \cdot \mathbf{n} d s-\iint_{D} \nabla f \cdot \nabla g d A
onde D e C satisfazem as hipóteses do Teorema de Green e as derivadas parciais apropriadas de f e g existem e são contínuas. (A quantidade \nabla g \cdot \mathbf{n}=D_{\mathbf{n}} g aparece na integral de linha. Essa é a derivada direcional na direção do vetor normal \mathbf{n} e é chamada derivada normal de g.)

Passo 1

O enunciado pede demonstrar a primeira identidade de Green
\iint_{D} f\,\nabla^{2} g \,dA \;=\;\oint_{C} f\,(\nabla g)\cdot\mathbf{n}\,ds \;-\;\iint_{D}\nabla f\cdot\nabla g\,dA
usando o Teorema de Green na forma de divergência. Suponha que f e g têm derivadas parciais contínuas em D e em seu contorno C.

Passo 2

O Teorema de Green na forma de divergência diz que, para \mathbf{F}=(P,Q) com derivadas contínuas, vale
\iint_{D}\bigl(\tfrac{\partial P}{\partial x}+\tfrac{\partial Q}{\partial y}\bigr)\,dA \;=\; \oint_{C}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds.

Passo 3

Defina o campo vetorial
\mathbf{F}=f\,\nabla g =\Bigl(f\,\tfrac{\partial g}{\partial x},\,f\,\tfrac{\partial g}{\partial y}\Bigr).
Calcule a divergência de \mathbf{F}:
\operatorname{div}\mathbf{F} =\tfrac{\partial}{\partial x}(f\,g_x)+\tfrac{\partial}{\partial y}(f\,g_y) =f\,(g_{xx}+g_{yy})+g_x\,f_x+g_y\,f_y =f\,\nabla^2 g+\nabla f\cdot\nabla g.

Passo 4

Aplicando o Teorema de Green a \mathbf{F}, obtemos
\oint_{C}f\,\nabla g\cdot\mathbf{n}\,ds =\iint_{D}\bigl(f\,\nabla^2 g+\nabla f\cdot\nabla g\bigr)\,dA.

Passo 5

Reorganizando para isolar \iint_{D}f\,\nabla^2 g\,dA, chega-se à identidade desejada:
\iint_{D} f\,\nabla^{2} g \,dA =\oint_{C} f\,(\nabla g)\cdot\mathbf{n}\,ds -\iint_{D}\nabla f\cdot\nabla g\,dA.

Resposta

\iint_{D} f \,\nabla^{2} g \, dA \;=\;\oint_{C} f\,(\nabla g)\cdot\mathbf{n}\, ds \;-\;\iint_{D} \nabla f \cdot \nabla g \, dA.

Exercícios relacionados