- Use o Teorema de Green na forma da Equação 13 para demonstrar a primeira identidade de Green:
onde
e
satisfazem as hipóteses do Teorema de Green e as derivadas parciais apropriadas de
e
existem e são contínuas. (A quantidade
aparece na integral de linha. Essa é a derivada direcional na direção do vetor normal
e é chamada derivada normal de g.)
Passo 1
O enunciado pede demonstrar a primeira identidade de Green
usando o Teorema de Green na forma de divergência. Suponha que
e
têm derivadas parciais contínuas em
e em seu contorno
.
Passo 2
O Teorema de Green na forma de divergência diz que, para
com derivadas contínuas, vale
Passo 3
Defina o campo vetorial
Calcule a divergência de
:
Passo 4
Aplicando o Teorema de Green a
, obtemos
Passo 5
Reorganizando para isolar
, chega-se à identidade desejada: