Use o teorema de Lagrange para encontrar
e
conforme o caso:
(22.3)
e
(22.3)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
onde
varia entre 0 e 4, e sabemos que
. Vamos usar o Teorema de Lagrange, que é uma ferramenta importante no cálculo para encontrar valores intermediários que satisfazem certas condições. Para resolver isso, precisaremos do entendimento básico de derivadas e da aplicação do Teorema de Lagrange em funções de múltiplas variáveis.
Passo 2
Como
é constante, nossa função
na verdade depende apenas de
. Vamos reescrever a função com
:
Passo 3
O Teorema de Lagrange para funções de uma variável nos diz que existe pelo menos um ponto
no intervalo
onde a derivada da função é igual à média das variações da função no intervalo. Aqui, nosso intervalo para
é de 0 a 4.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Usando a regra do quociente:
Passo 5
Segundo o Teorema de Lagrange, existe um
em
tal que:
Vamos calcular
e
:
Portanto:
Passo 6
Temos que igualar a derivada encontrada com o valor obtido:
Multiplicando ambos os lados por
:
Multiplicando ambos os lados por -2:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
:
Resposta
Portanto, o valor de
que satisfaz o teorema de Lagrange para esta função é: