Use o teorema de Lagrange para encontrar xi1 e xi2 conforme o caso:
(22.3) f(x, y) = (2x - y) / (2y + x) ; y in [0, 4] e x = 2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função onde varia entre 0 e 4, e sabemos que . Vamos usar o Teorema de Lagrange, que é uma ferramenta importante no cálculo para encontrar valores intermediários que satisfazem certas condições. Para resolver isso, precisaremos do entendimento básico de derivadas e da aplicação do Teorema de Lagrange em funções de múltiplas variáveis.

Passo 2

Como é constante, nossa função na verdade depende apenas de . Vamos reescrever a função com :

Passo 3

O Teorema de Lagrange para funções de uma variável nos diz que existe pelo menos um ponto no intervalo onde a derivada da função é igual à média das variações da função no intervalo. Aqui, nosso intervalo para é de 0 a 4.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a derivada de em relação a :
Usando a regra do quociente:

Passo 5

Segundo o Teorema de Lagrange, existe um em tal que:
Vamos calcular e :
Portanto:

Passo 6

Temos que igualar a derivada encontrada com o valor obtido:
Multiplicando ambos os lados por :
Multiplicando ambos os lados por -2:

Passo 7

Agora, vamos resolver para :

Resposta

Portanto, o valor de que satisfaz o teorema de Lagrange para esta função é:

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