Use o teorema dos resíduos para calcular as seguintes integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o teorema dos resíduos. Vamos usar a substituição complexa
e também explorar que a função é
-periódica, de modo que
Passo 2
Escrevendo
temos então
Na variável
,
e
Logo
Passo 3
O integrando é
Os polos estão em
Dos três, apenas
e
ficam dentro do círculo
.
Passo 4
Calculamos os resíduos:
- Em
(polo simples de ordem 1 em ):
- Em
(polo simples de ):
Passo 5
Pela soma dos resíduos dentro de
:
Pelo teorema dos resíduos,
Como
, resulta