Use o teorema dos resíduos para calcular as seguintes integrais definidas:
\int_{0}^{\pi} \frac{\cos \theta}{5+4 \cos \theta} d \theta=-\frac{\pi}{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = \int_{0}^{\pi}\frac{\cos\theta}{5 + 4\cos\theta}\,d\theta
usando o teorema dos resíduos. Vamos usar a substituição complexa
z = e^{i\theta},\quad \cos\theta = \frac{z + z^{-1}}{2},\quad d\theta = \frac{dz}{i\,z},
e também explorar que a função é 2\pi-periódica, de modo que
\int_{0}^{\pi}f(\theta)\,d\theta \;=\;\frac12\int_{0}^{2\pi}f(\theta)\,d\theta.

Passo 2

Escrevendo
J = \int_{0}^{2\pi}\frac{\cos\theta}{5 + 4\cos\theta}\,d\theta,
temos então
I = \frac12\,J.
Na variável z,
\cos\theta = \frac{z + z^{-1}}{2}, \quad 5 + 4\cos\theta = 5 + 2\bigl(z + z^{-1}\bigr) = \frac{2z^2 +5z +2}{z},
e
\cos\theta\,d\theta = \frac{z + z^{-1}}{2}\,\frac{dz}{i\,z} = \frac{z^2 + 1}{2i\,z^2}\,dz.
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J = \oint_{|z|=1} \frac{\cos\theta}{5 + 4\cos\theta}\,d\theta = \oint_{|z|=1} \frac{\frac{z^2+1}{2i\,z^2}}{\frac{2z^2+5z+2}{z}}\,dz = \oint_{|z|=1} \frac{z^2+1}{2i\,z\,(2z^2 +5z +2)}\,dz.

Passo 3

O integrando é
f(z) = \frac{z^2+1}{2i\,z\,(2z^2+5z+2)}.
Os polos estão em
z=0, \quad 2z^2+5z+2=0 \;\Longrightarrow\; z = -2,\; z = -\tfrac12.
Dos três, apenas z=0 e z=-\tfrac12 ficam dentro do círculo |z|=1.

Passo 4

Calculamos os resíduos:
  1. Em z=0 (polo simples de ordem 1 em z):
\Res(f,0) = \lim_{z\to0}z\,f(z) = \lim_{z\to0} \frac{z^2+1}{2i\,(2z^2+5z+2)} = \frac{1}{2i\cdot 2} = \frac{1}{4i}.
  1. Em z=-\tfrac12 (polo simples de 2z^2+5z+2):
\Res\bigl(f,-\tfrac12\bigr) = \frac{(-\tfrac12)^2+1}{2i\cdot(-\tfrac12)\,(2\cdot(-\tfrac12)^2+5\cdot(-\tfrac12)+2)'} \;=\; \frac{\tfrac14+1}{2i\cdot(-\tfrac12)\,(4z+5)\big|_{z=-1/2}} = \frac{\tfrac54}{2i\cdot(-\tfrac12)\cdot 3} = -\frac{5}{12\,i}.

Passo 5

Pela soma dos resíduos dentro de |z|<1:
\sum \Res = \frac{1}{4i} - \frac{5}{12\,i} = -\frac{1}{6\,i}.
Pelo teorema dos resíduos,
J = 2\pi i \sum\Res = 2\pi i \Bigl(-\frac{1}{6\,i}\Bigr) = -\frac{\pi}{3}.
Como I = \tfrac12\,J, resulta
I = -\frac{\pi}{6}.

Resposta

-\frac{\pi}{6}

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