Use o teorema dos resíduos para calcular as seguintes integrais impróprias:
\int_{0}^{\infty} \frac{\cos (a x)}{1+x^{2}}=\frac{\pi e^{-a}}{2}, a \geq 0

Passo 1

Vamos calcular a integral imprópria
I(a)=\int_{0}^{\infty}\frac{\cos(a x)}{1+x^{2}}\,dx,
para a\ge0, usando análise complexa. O conteúdo envolvido inclui representar \cos(ax) como parte real de e^{iax}, escolher um contorno apropriado no semiplano superior e aplicar o Teorema dos Resíduos junto ao Lema de Jordan.

Passo 2

Escrevemos
\cos(ax)=\Re\bigl(e^{iax}\bigr),
e consideramos a integral de f(z)=\frac{e^{iaz}}{1+z^{2}} ao longo do eixo real de -R a R. Denotemos
J_R=\int_{-R}^{R}\frac{e^{iaz}}{1+z^{2}}\,dz.
Mais adiante usaremos que
\int_{-R}^{R}\frac{\cos(ax)}{1+x^{2}}\,dx=\Re(J_R).

Passo 3

Para a\ge0 fechamos o contorno com o semicírculo C_R de raio R no semiplano superior, de modo que o contorno íntegro seja \Gamma_R =[-R,R]\cup C_R. Pelo Lema de Jordan, ao fazer R\to\infty a contribuição de \int_{C_R}f(z)\,dz tende a zero (porque e^{iaz} decai exponencialmente no semiplano superior). Logo, no limite R\to\infty,
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{iaz}}{1+z^{2}}\,dz =\;2\pi i\;\sum_{\substack{\text{pólos de }f\\Im z>0}}\Res\bigl(f,z\bigr).

Passo 4

O único pólo de f(z)=\frac{e^{iaz}}{1+z^{2}} no semiplano superior é em z=i, simples. Calculamos
\Res\bigl(f,i\bigr) =\lim_{z\to i}(z-i)\frac{e^{iaz}}{(z-i)(z+i)} =\frac{e^{ia\,i}}{2i} =\frac{e^{-a}}{2i}.

Passo 5

Pelo Teorema dos Resíduos, para a\ge0 temos
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{iaz}}{1+z^{2}}\,dz =2\pi i\cdot\frac{e^{-a}}{2i} =\pi e^{-a}.
Como buscávamos a parte real dessa integral para recuperar o cosseno, obtemos
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos(ax)}{1+x^{2}}\,dx =\Re\bigl(\pi e^{-a}\bigr) =\pi e^{-a}.

Passo 6

Finalmente, a integral de 0 a \infty vale a metade da integral de -\infty a \infty (pois o integrando é par). Logo
I(a)=\int_{0}^{\infty}\frac{\cos(ax)}{1+x^{2}}\,dx =\frac{1}{2}\,\pi e^{-a} =\frac{\pi e^{-a}}{2}.

Resposta

\int_{0}^{\infty}\frac{\cos(a x)}{1+x^{2}}\,dx =\frac{\pi e^{-a}}{2},\quad a\ge0.

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