Use o teorema dos resíduos para calcular as seguintes integrais impróprias:
Passo 1
Vamos calcular a integral imprópria
para
, usando análise complexa. O conteúdo envolvido inclui representar
como parte real de
, escolher um contorno apropriado no semiplano superior e aplicar o Teorema dos Resíduos junto ao Lema de Jordan.
Passo 2
Escrevemos
e consideramos a integral de
ao longo do eixo real de
a
. Denotemos
Mais adiante usaremos que
Passo 3
Para
fechamos o contorno com o semicírculo
de raio
no semiplano superior, de modo que o contorno íntegro seja
. Pelo Lema de Jordan, ao fazer
a contribuição de
tende a zero (porque
decai exponencialmente no semiplano superior). Logo, no limite
,
Passo 4
O único pólo de
no semiplano superior é em
, simples. Calculamos
Passo 5
Pelo Teorema dos Resíduos, para
temos
Como buscávamos a parte real dessa integral para recuperar o cosseno, obtemos
Passo 6
Finalmente, a integral de
a
vale a metade da integral de
a
(pois o integrando é par). Logo