Use o teorema dos resíduos para calcular as seguintes integrais impróprias:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
com
, usando o Teorema dos Resíduos. O conteúdo principal é integrar funções da forma
sobre a reta real e fechar um contorno no semiplano superior, aproveitando que os pólos de
ficam fora da reta real, salvo dois pontos complexos.
Passo 2
Escrevemos
e definimos
Então
Tomamos o contorno que consiste na reta real de
a
e o semicírculo de raio
no semiplano
. Para
, a contribuição do arco tende a zero, pois
decai exponencialmente no semiplano superior.
Passo 3
Os pólos de
são as raízes de
, ou seja
No semiplano superior está somente
. Calculamos a respectiva resíduo:
Passo 4
Pelo Teorema dos Resíduos no contorno escolhido,
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